《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 已知直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 平行,直线 $ l_1 $ 的倾斜角为 $ \alpha_1 $,直线 $ l_2 $ 的倾斜角为 $ \alpha_2 $.
(1) 倾斜角 $ \alpha_1 $ 与 $ \alpha_2 $ 有何关系？
(2) 直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 的斜率有何关系？

答案：
(1)提示:直线l₁,l₂满足l₁//l₂,即两条直线向上方向与x轴正方向的夹角相等,故直线l₁,l₂的倾斜角相等.
(2)提示:当两条直线的倾斜角都为90°时,两条直线的斜率都不存在;当两条直线的斜率都存在时,由两条直线l₁//l₂得直线l₁的倾斜角α₁与直线l₂的倾斜角α₂相等,故tan α₁=tan α₂,即k₁=k₂.

 问题 2. 如图所示,直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 满足 $ l_1 \perp l_2 $,请根据图形,探究斜率都存在的两条直线 $ l_1 $,$ l_2 $,若 $ l_1 \perp l_2 $,则其倾斜角有何关系？斜率有何关系？

答案： 提示:由题图可知倾斜角的关系为α₂=α₁+90°,所以$tan α₂=tan(α₁+90°)=-\frac{1}{tan α₁},$即$k₂=-\frac{1}{k₁},$所以k₁·k₂=-1.

 问题 3. 观察图形,思考下列问题.

(1) 两直线 $ l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0 $,$ l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0 $ 相交,如何求两条直线的交点坐标？
(2) 两条直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 应具备怎样的条件才能相交？

答案：
(1)提示:采用消元的方法来解方程组
{A₁x+B₁y+C₁=0,①
{A₂x+B₂y+C₂=0,②
①×B₂-②×B₁得(A₁B₂-A₂B₁)x=B₁C₂-B₂C₁,
当A₁B₂-A₂B₁=0,且B₁C₂-B₂C₁≠0时,方程组无解;
当A₁B₂-A₂B₁=0,且B₁C₂-B₂C₁=0时,方程组有无数组解.
(2)提示:A₁B₂-A₂B₁≠0.

1. 两条直线的平行
(1) 两条不重合的直线 $ l_1: y = k_1x + b_1 $ 和 $ l_2: y = k_2x + b_2 $(其中 $ b_1 \neq b_2 $),$ l_1 // l_2 \Leftrightarrow $ k₁=k₂.
(2) 若直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 的斜率都不存在,则它们互相 平行或重合.

答案：
(1)k₁=k₂
(2)平行或重合

2. 两条直线的垂直
(1) 两条不重合的直线 $ l_1: y = k_1x + b_1 $ 和 $ l_2: y = k_2x + b_2 $,$ l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow $ k₁k₂=-1.
(2) 当 $ l_1 $,$ l_2 $ 中有一条直线的斜率不存在时,若 $ l_1 \perp l_2 $,则另一条直线与 $ x $ 轴 平行或重合.

答案：
(1)k₁k₂=-1
(2)平行或重合

3. **两条直线的交点坐标**
两条不重合的直线 $ l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0 $，$ l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0 $，
(1) 用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交.
(2) 解方程组 $ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0, \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases} $ 得到交点坐标.

答案：
(1)法向量（2）的答案为：直线方程的系数关系$\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}$（$A_2\neq0$，$B_2\neq0$）（或系数行列式$D = A_1B_2−A_2B_1\neq0$）。