《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题1. 平面直角坐标系中的每一条直线 $ l $ 都可以用一个关于 $ x,y $ 的二元一次方程表示吗？

答案： 问题1.提示:可以.当直线l的斜率k存在时,在直线l上任取一点P₀(x₀,y₀),其方程为y-y₀=k(x-x₀),这是关于x,y的二元一次方程;当直线l的斜率不存在,即直线l的倾斜角α=90°时,直线的方程为x+0·y-x₀=0,这也是关于x,y的二元一次方程.

问题2. 每一个关于 $ x,y $ 的二元一次方程 $ Ax + By + C = 0 $($ A,B $ 不同时为 $ 0 $)都表示一条直线吗？

答案： 问题2.提示:都表示.当B≠0时,方程可变形为y=-$\frac{A}{B}$x-$\frac{C}{B}$,它表示过点(0,-$\frac{C}{B}$),斜率为-$\frac{A}{B}$的直线;当B=0时,方程可变形为x=-$\frac{C}{A}$,它表示过(-$\frac{C}{A}$,0),垂直于x轴的一条直线,故每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.

问题3. 当 $ A,B $ 同时为零时,方程 $ Ax + By + C = 0 $ 表示什么？

答案： 问题3.提示:当C=0时,方程对任意的x,y都成立,故方程表示整个坐标平面;当C≠0时,方程无解,方程不表示任何图象.故方程Ax+By+C=0不一定代表直线,只有当A,B不同时为零时,才代表直线.

问题4. 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？

答案： 问题2.提示:都表示.当B≠0时,方程可变形为y=-$\frac{A}{B}$x-$\frac{C}{B}$,它表示过点(0,-$\frac{C}{B}$),斜率为-$\frac{A}{B}$的直线;当B=0时,方程可变形为x=-$\frac{C}{A}$,它表示过(-$\frac{C}{A}$,0),垂直于x轴的一条直线,故每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.

【典例1】
1. 直线 $ \sqrt{3}x - 5y + 9 = 0 $ 在 $ x $ 轴上的截距等于(D)
A.$ \sqrt{3} $
B.$ -5 $
C.$ \frac{9}{5} $
D.$ -3\sqrt{3} $

答案： D

2. 已知直线 $ l $ 的一个法向量为 $ \boldsymbol{v} = (\sqrt{3}, -1) $,且经过点 $ A(5,3) $,则直线 $ l $ 的一般式方程为$\sqrt{3}$x-y+3-5$\sqrt{3}$=0.

答案： $\sqrt{3}$x-y+3-5$\sqrt{3}$=0

 3. 根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式：
①斜率是 −21​,经过点 A(8,−2)；
②经过点 B(4,2),平行于 x 轴；
③在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 23​,−3；
④经过两点 P1​(3,−2),P2​(5,−4).

答案： ①由点斜式得y-(-2)=-$\frac{1}{2}$(x-8),即x+2y-4=0.
②由斜截式得y=2,即y-2=0.
③由截距式得$\frac{x}{\frac{3}{2}}$+$\frac{y}{-3}$=1,即2x-y-3=0.
④由两点式得$\frac{y-(-2)}{-4-(-2)}$=$\frac{x-3}{5-3}$,即x+y-1=0.