《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

1. 空间向量的模(长度)与夹角的坐标表示
设$\boldsymbol{a}= (x_1,y_1,z_1)$,$\boldsymbol{b}= (x_2,y_2,z_2)$,则
$|\boldsymbol{a}|=$$\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}$，$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=$$\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}$

答案： $\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}$ $\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}$

2. 空间两点的距离
已知点$A(a_1,b_1,c_1)$,$B(a_2,b_2,c_2)$,则$\overrightarrow{AB}= (a_2 - a_1,b_2 - b_1,c_2 - c_1)$,$A$,$B两点间的距离|AB|= |\overrightarrow{AB}|= $$\sqrt{(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}+(c_{2}-c_{1})^{2}}$.

答案： $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}+(c_{2}-c_{1})^{2}}$

【典例1】已知空间三点$A(-2,0,2)$,$B(-1,1,2)$,$C(-3,0,4)$,设$\boldsymbol{a}= \overrightarrow{AB}$,$\boldsymbol{b}= \overrightarrow{AC}$,则$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=$$-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

答案： $-\frac{\sqrt{10}}{10}$

1. 长方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中,$AB = AA_1 = 2$,$AD = 1$,$E为CC_1$的中点,则$\overrightarrow{BC_1}与\overrightarrow{AE}$所成角的余弦值为(B)
A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{30}}{10}$
C.$\frac{2\sqrt{15}}{10}$
D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

答案： B

2. 已知向量$\boldsymbol{a}= (x,1,2)$,$\boldsymbol{b}= (1,y,-2)$,$\boldsymbol{c}= (3,1,z)$,且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}$.
(1) 求向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$；
(2) 求向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}与\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$的夹角的余弦值.

答案：
(1)$\boldsymbol{a}=(-1,1,2)$,$\boldsymbol{b}=(1,-1,-2)$,$\boldsymbol{c}=(3,1,1)$.
(2)$\frac{5}{17}$