《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1. 如何用空间向量表示空间中的一个点？

答案：
提示:如图所示,在空间中,任取一点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量$\overrightarrow {OP}$来表示.

　　　　　　　　

问题 2. 在空间中给出一个定点 $A$ 和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗？

答案：
问题 2. 提示: 能, 如图所示, 点 A 和 a 不仅可以确定直线 l 的位置, 还可以具体表示出 l 上的任意一点 P.
$\overrightarrow{AP}=λa(λ∈R).$

问题 3. 给出一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗？

答案：
问题 3. 提示：如图，点 O 和 a，b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示α内的任意一点 P。
$\overrightarrow{OP}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}(x,y\in R)$。

问题 4. 给出一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗？

答案：

问题 4. 提示;可以,如图.过点 A 作与』垂直的平面, 这个平面是完全确定的。

1. 位置向量
在空间中取一个定点 $O$,那么空间中任意一点 $P$ 的位置就可以用向量 $$_________$$ 来表示,向量 $$_________$$ 就是点 $P$ 的位置向量.

答案： $\overrightarrow {OP}$ $\overrightarrow {OP}$

2. 直线的方向向量与直线的向量表示
(1) 直线的方向向量
如图,设点 $A$,$B$ 是直线 $l$ 上不重合的任意两点,称 $\overrightarrow {AB}$ 为直线 $l$ 的方向向量. 一条直线有 无数 个方向向量,与 $\overrightarrow{AB}$ 平行的任意非零向量 $\boldsymbol{a}$ 也是直线 $l$ 的方向向量.

空间中任意一条直线 $l$ 的位置可以由直线 $l$ 上的一个 定点 和该直线的 方向向量 唯一确定.
(2) 直线的向量表示
如图,已知点 $M$ 是直线 $l$ 上的一点,非零向量 $\boldsymbol{a}$ 是直线 $l$ 的一个方向向量. 那么对于直线 $l$ 上的任意一点 $P$,一定存在实数 $t$,使得 $\overrightarrow{MP}= $$t\boldsymbol{a}$.

反之,由几何知识不难确定,满足上式的点 $P$ 一定在直线 $l$ 上. 因此,我们把这个式子称为直线 $l$ 的向量表示.

答案： $\overrightarrow {AB}$ 无数 定点 方向向量 ta

1. 平面的法向量
如果一条直线 $l$ 与一个平面 $\alpha$ 垂直,那么就把直线 $l$ 的方向向量 $\boldsymbol{n}$ 叫作平面 $\alpha$ 的法向量,则 $\boldsymbol{n}\perp\alpha$.

答案： 垂直

2. 平面 $\alpha$ 的方程
如图,在空间直角坐标系中,若 $\boldsymbol{n}= (A,B,C)$,点 $M$ 的坐标为 $(x_0,y_0,z_0)$,则对于平面 $\alpha$ 内任意一点 $P(x,y,z)$,称 $$$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$$$ 为平面 $\alpha$ 的方程.

答案： $A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$