《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

(多选题)给出下列问题,属于组合问题的有(BCD)
A.从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法
B.有 4 张电影票,要在 7 人中确定 4 人去观看,有多少种不同的选法
C.某人射击 8 枪,击中 4 枪,且命中的 4 枪均为 2 枪连中,则不同的结果有多少种
D.从 2,3,5,7,11 中任选两个数相乘,可以得到多少个不同的积

答案： BCD

【典例 2】 已知 A,B,C,D,E 5 个元素,写出每次取出 3 个元素的所有组合.

答案：
[解析]可按AB→AC→AD→BC→BD→CD的顺序写出,如图所示.
　　　　　　
　所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE。

【典例 3】 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 名,选派 5 人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？
(1) 男运动员 3 名,女运动员 2 名；
(2) 至少有 1 名女运动员；
(3) 既有队长,又有女运动员.

答案： [解析]
(1)第1步:选3名男运动员，有$C_{6}^{3}$种选法；第2步:选2名女运动员，有$C_{4}^{2}$种选法，故共有$C_{6}^{3}C_{4}^{2}=120$种选法。
(2)方法一(直接法):“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男。由分类加法计数原理知，共有$C_{4}^{1}C_{6}^{4}+C_{4}^{2}C_{6}^{3}+C_{4}^{3}C_{6}^{2}+C_{4}^{4}C_{6}^{1}=246$种选法。
方法二(排除法):不考虑条件，从10人中任选5人，有$C_{10}^{5}$种选法，其中全是男运动员的选法有$C_{6}^{5}$种，故“至少有1名女运动员”的选法有$C_{10}^{5}-C_{6}^{5}=246$种。
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有$C_{9}^{4}$种选法；不选女队长时，必选男队长，共有$C_{8}^{4}$种选法，其中不含女运动员的选法有$C_{5}^{4}$种，故不选女队长时共有$C_{8}^{4}-C_{5}^{4}$种选法。所以既有队长又有女运动员的选法共有$C_{9}^{4}+C_{8}^{4}-C_{5}^{4}=191$种。

某铁路线上有 5 个车站,则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？

答案： [解析]设5个车站分别为甲、乙、丙、丁、戊，因为“甲站到乙站”与“乙站到甲站”车票是不同的，所以是排列问题，有$A_{5}^{2}=20$ (种)；票价与顺序无关，“甲站到乙站”与“乙站到甲站”是同一种票价，故是组合问题，则票价的种数是车票种数的一半，则有$\frac{1}{2}×20 = 10$种不同的票价。

【典例 4】 (1) 求值：① 3C_8^3 - 2C_5^2 = 148；② Cₙ^5⁻ⁿ + Cₙ₊_1^9⁻ⁿ = 5或16.
(2) 证明：Cₙᵐ = $\frac{n}{n - m}$Cₙ₋_1ᵐ.
[证明]右边=$\frac{n}{n - m}C_{n - 1}^{m}=\frac{n}{n - m}·\frac{(n - 1)!}{m!(n - 1 - m)!}=\frac{n!}{m!(n - m)!}=C_{n}^{m}=$左边。所以原式成立。

答案：
(1)①148　②5或16
(2)[证明]右边=$\frac{n}{n - m}C_{n - 1}^{m}=\frac{n}{n - m}·\frac{(n - 1)!}{m!(n - 1 - m)!}=\frac{n!}{m!(n - m)!}=C_{n}^{m}=$左边。所以原式成立。

1. 计算：$C_1₀^4 - C_7^3·A_3^3 = $0.

答案： 0

2. 证明：$mCₙᵐ = nCₙ₋_1ᵐ⁻^1.$

答案： [证明]$mC_{n}^{m}=m·\frac{n!}{m!(n - m)!}=\frac{n·(n - 1)!}{(m - 1)!(n - m)!}=n·\frac{(n - 1)!}{(m - 1)!(n - m)!}=nC_{n - 1}^{m - 1}$。

【典例 5】 (1) 计算 C_4^3 + C_5^3 + C_6^3 + … + C_2023^3 的值为(C)
A. C_2023^4
B. C_2023^5
C. C_2024^4 - 1
D. C_2023^5 - 1
(2) (多选题)下列结论正确的是(BCD)
A. 10×11×…×20 = A_20^10
B. C_6^2 + C_6^3 = C_7^3
C. C_8^3 = C_8^5
D. $\frac{A_{8}^{5} + A_{8}^{4}}{A_{9}^{6} - A_{9}^{5}}$ = $\frac{5}{27}$
(3) 若 C_8^2x-1 = C_8^x+3,则 x 的值为2或4.
课时巩固请使用 课时作业本 四十

答案：
(1)C
(2)BCD
(3)2或4