《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1) 焦点在$y$轴上,$a = 2$,离心率$e= \frac{1}{2}$；
(2) 一个焦点坐标为$(-3,0)$,一个顶点坐标为$(0,5)$；
(3) 过点$(3,0)$,离心率$e= \frac{\sqrt{6}}{3}$.

答案： 【解析】
(1)由$a=2$,$e=\dfrac{1}{2}$,可得$a^{2}=4$,且$\dfrac{c}{2}=\dfrac{1}{2}$,即$c=1$,所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=4-1=3$.又因为椭圆的焦点在y轴上,所以所求的椭圆的标准方程为$\dfrac{y^{2}}{4}+\dfrac{x^{2}}{3}=1$.
(2)由椭圆的一个焦点的坐标为$(-3,0)$,可知椭圆的焦点在x轴上,且$c=3$.
又由一个顶点的坐标为$(0,5)$,可得$b=5$,
所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}=25+9=34$.
因此所求的椭圆的标准方程为$\dfrac{x^{2}}{34}+\dfrac{y^{2}}{25}=1$.
(3)当椭圆的焦点在x轴上时,因为$a=3$,$e=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$,
所以$c=\sqrt{6}$,从而$b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$,
所以椭圆的标准方程为$\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$;
当椭圆的焦点在y轴上时,因为$b=3$,$e=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$,
所以$\dfrac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$,所以$a^{2}=27$,
所以椭圆的标准方程为$\dfrac{y^{2}}{27}+\dfrac{x^{2}}{9}=1$.
综上,所求椭圆的标准方程为$\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$或$\dfrac{y^{2}}{27}+\dfrac{x^{2}}{9}=1$.

已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$的离心率为$\frac{3}{5}$,直线$2x + y + 10 = 0$过椭圆的左顶点,则椭圆的方程为(D)
A.$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4} = 1$
B.$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9} = 1$
C.$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9} = 1$
D.$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16} = 1$

答案： D

【典例3】(1) 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{b^{2}+3}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(b ＞ 0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$,$P为椭圆C$的上顶点,$O$为坐标原点,若$\angle F_{1}PF_{2}= \frac{\pi}{3}$,则$b=$3.
(2) 椭圆在$x$轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为$8$,则椭圆的离心率为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

答案：
(1)3
(2)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{m^{2}} = 1的短轴长为4$,则$m= $(B)
A.$2$
B.$4$
C.$8$
D.$16$

答案： B

【典例4】已知$F_{1},F_{2}$是椭圆的两个焦点,过$F_{1}且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B$两点,若$\triangle ABF_{2}$是正三角形,则该椭圆的离心率为$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$