《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

1. 已知平面上两点 $ A(x,\sqrt{2} - x) $,$ B(\frac{\sqrt{2}}{2},0) $,则 $ |AB| $ 的最小值为(D)
A.$ 3 $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ 2 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： D

2. 已知直线 $ l $ 经过点 $ P(5,10) $,且原点到它的距离为 $ 5 $,则直线 $ l $ 的方程为 $x=5$或$3x-4y+25=0$.

答案： $x=5$或$3x-4y+25=0$

3. 已知 $ A(-1,2) $,$ B(2,\sqrt{7}) $,在 $ x $ 轴上求一点 $ C $,使得 $ \triangle ABC $ 是以 $ AB $ 为底边的等腰三角形,并求 $ |CA| $ 的值.

答案： 【解析】设所求的点为C(x,0),于是有$|AC|=\sqrt{(x+1)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{x^{2}+2x+5}$,$|BC|=\sqrt{(x-2)^{2}+(0-\sqrt{7})^{2}}=\sqrt{x^{2}-4x+11}$,由|AC|=|BC|得,x=1,故所求点为C(1,0),且$|CA|=\sqrt{(1+1)^{2}+(0-2)^{2}}=2\sqrt{2}$.

(1) 已知直线 $ l_1:x - y + 1 = 0 $ 与直线 $ l_2:2x + ay - 2 = 0 $ 平行,则直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 间的距离为(A)
A.$ \sqrt{2} $
B.$ 2 $
C.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \frac{3\sqrt{2}}{2} $

答案： A

(2) 已知直线 $ l $ 与两直线 $ l_1:2x - y + 3 = 0 $,$ l_2:2x - y - 1 = 0 $ 间的距离相等,则 $ l $ 的方程为 $2x-y+1=0$.

答案： $2x-y+1=0$

1. 若两条平行直线 $ x + 2y + m = 0(m ＞ 0) $ 与 $ x - ny - 3 = 0 $ 间的距离是 $ \sqrt{5} $,则 $ m + n = $(A)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ -2 $

答案： A

2. 到直线 $ 2x + y + 1 = 0 $ 的距离等于 $ \frac{\sqrt{5}}{5} $ 的直线方程为(D)
A.$ 2x + y = 0 $
B.$ 2x + y - 2 = 0 $
C.$ 2x + y = 0 $ 或 $ 2x + y - 2 = 0 $
D.$ 2x + y = 0 $ 或 $ 2x + y + 2 = 0 $

答案： D