《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题1. 观察下图中椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$的形状.

(1) 你能从图中看出变量$x,y$的范围吗？
(2) 它具有怎样的对称性？
(3) 椭圆上哪些点比较特殊？

答案：
(1)提示:范围:$-a \leqslant x \leqslant a$,$-b \leqslant y \leqslant b$.
(2)提示:对称性:对称轴为x轴，y轴;对称中心为坐标原点.
(3)提示:顶点:$A_{1}(-a,0)$,$A_{2}(a,0)$,$B_{1}(0,-b)$,$B_{2}(0,b)$.

问题2. 扁平程度是椭圆的重要形状特征. 观察右图,我们发现,不同的椭圆的扁平程度不同.

(1) 你能用适当的定量刻画椭圆的扁平程度吗？
(2) 这个定量对椭圆的形状有何影响？

答案：

(1)提示:利用离心率$e=\dfrac{c}{a}$来刻画椭圆的扁平程度.
(2)提示:如图所示，在$Rt\triangle BF_{2}O$中，
$\cos \angle BF_{2}O=\dfrac{c}{a}$,记$e=\dfrac{c}{a}$,则$0 ＜ e ＜ 1$,
e越大,$\angle BF_{2}O$越小,椭圆越扁平;
e越小,$\angle BF_{2}O$越大，椭圆越接近于圆.

椭圆的简单几何性质

$-a \leqslant x \leqslant a$且$-b \leqslant y \leqslant b$$-b \leqslant x \leqslant b$且$-a \leqslant y \leqslant a$坐标轴坐标原点$2a$$2b$$(0,1)$

答案： $-a \leqslant x \leqslant a$且$-b \leqslant y \leqslant b$ $-b \leqslant x \leqslant b$且$-a \leqslant y \leqslant a$ 坐标轴 坐标原点 $2b$ $2a$ $(0,1)$

【典例1】求椭圆$9x^{2}+25y^{2}= 225$的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标,并画出该椭圆的草图.

答案：
【解析】椭圆的标准方程为$\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$,则$a=5$,$b=3$,$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4$,因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是$2a=10$,$2b =6$,离心率是$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{5}$,两个焦点分别是$F_{1}(-4,0)$,$F_{2}(4,0)$,椭圆的四个顶点分别是$A_{1}(-5,0)$,$A_{2}(5,0)$,$B_{1}(0,-3)$,$B_{2}(0,3)$.
将方程变形为$y= \pm \dfrac{3}{5}\sqrt{25-x^{2}}$,由$y=\dfrac{3}{5}\sqrt{25-x^{2}}$,在$0 \leqslant x \leqslant 5$的范围内计算出一些点的坐标$(x,y)$(y的值精确到0.1).
|x|0|1|2|3|4|5|
|--|--|--|--|--|--|--|
|y|3.0|2.9|2.7|2.4|1.8|0|
先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形,再利用对称性画出整个椭圆,如图所示: