《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

将直线 $ 2x + 3y - 2 = 0 $ 化为截距式：$\frac{x}{1}$+$\frac{y}{\frac{2}{3}}$=1.

答案： $\frac{x}{1}$+$\frac{y}{\frac{2}{3}}$=1

【典例2】
1. 设直线 $ l $ 的方程为 $ (a - 1)x + y - 2 - a = 0 $($ a \in \mathbf{R} $)。若直线 $ l $ 不过第三象限,求 $ a $ 的取值范围.
2. 设直线 $ l $ 的方程为 $ 2x + (k - 3)y - 2k + 6 = 0 $($ k \neq 3 $),根据下列条件分别确定 $ k $ 的值：
直线 $ l $ 的斜率为 $ -1 $；
直线 $ l $ 在 $ x $ 轴,$ y $ 轴上的截距之和等于 $ 0 $.
【母题变式】
1. 本例(1)中若将方程改为“$ x + (a - 1)y - 2 - a = 0 $($ a \in \mathbf{R} $)”,其他条件不变,则 $ a $ 的取值范围为______.
2. 若本例(1)中的方程不变,将“直线 $ l $ 不过第三象限”改为“直线 $ l $ 不过第二象限”,则 $ a $ 的取值范围为______.
3. 本例(1)中的直线是否过定点？若过定点,求出定点的坐标；若不过定点,请说明理由.

答案： 1.【解析】把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2.因为直线l不过第三象限,所以该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零,即$\left\{ \begin{array}{l} 1-a\leq0, \\ a+2\geq0, \end{array} \right.$解得a≥1.所以a的取值范围为[1,+∞).2.①因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y=-$\frac{2}{k-3}$x+2.由题意得-$\frac{2}{k-3}$=-1,解得k=5.②直线l的方程可化为$\frac{x}{k-3}$+$\frac{y}{2}$=1.由题意得k-3+2=0,解得k=1.
@@1.【解析】当a-1=0,即a=1时,直线为x=3,该直线不过第三象限,符合.当a-1≠0,即a≠1时,把直线方程化为斜截式方程为y=$\frac{1}{1-a}$x-$\frac{2+a}{1-a}$.因为直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零,即$\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{1-a}\leq0, \\ -\frac{2+a}{1-a}\geq0, \end{array} \right.$解得a＞1.综上可知,a≥1.答案:[1,+∞)2.(-∞,-2]3.【解析】方程变为a(x-1)-x+y-2=0,令$\left\{ \begin{array}{l} x-1=0, \\ -x+y-2=0, \end{array} \right.$解得$\left\{ \begin{array}{l} x=1, \\ y=3, \end{array} \right.$所以直线过定点(1,3).

1. 若直线 $ (m + 2)x + (m^2 - 2m - 3)y = 2m $ 在 $ x $ 轴上的截距为 $ 3 $,则实数 $ m $ 的值为(B)
A.$ \frac{6}{5} $
B.$ -6 $
C.$ -\frac{6}{5} $
D.$ 6 $

答案： B

2. 不论 $ k $ 为何实数,直线 $ (2k - 1)x - (k + 3)y - (k - 11) = 0 $ 恒过一个定点,这个定点的坐标是(B)
A.$ (5,2) $
B.$ (2,3) $
C.$ (5,9) $
D.$ (-\frac{1}{2},3) $

答案： B