《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例 1】如图所示,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分。过对称轴的截口 $BAC$ 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 上,片门位于另一个焦点 $F_{2}$ 上。由椭圆焦点 $F_{1}$ 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_{2}$ 。已知 $BF_{1}\perp F_{1}F_{2}$,$\vert F_{1}B\vert=\frac{5}{3}$,$\vert F_{1}F_{2}\vert = 4$。
(1) 试建立适当的坐标系,求截口 $BAC$ 所在的椭圆的方程；
(2) 若透明窗 $DE$ 所在的直线与截口 $BAC$ 所在的椭圆交于一点 $P$,且 $\angle F_{1}PF_{2} = 90^{\circ}$,求 $\triangle F_{1}PF_{2}$ 的面积。

答案：
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设截口BAC所在椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，因为$BF_{1}\perp F_{1}F_{2}$，$|F_{1}B|=\frac{5}{3}$，$|F_{1}F_{2}|=4$，所以在$Rt\triangle BF_{1}F_{2}$中，$|BF_{2}|=\sqrt{|BF_{1}|^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}}=\frac{13}{3}$，故$2a=|F_{1}B|+|F_{2}B|=6$，$a=3$，又$2c=|F_{1}F_{2}|=4$，$c=2$，所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=5$，所求的椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$。
(2)因为点P在椭圆上，$|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=6$，又$\angle F_{1}PF_{2}=90^{\circ}$，即$\triangle F_{1}PF_{2}$为直角三角形，所以$|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=16$，有$\begin{cases} |PF_{1}|+|PF_{2}|=6\\ |PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=16 \end{cases}$，即可得$|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=10$，故$\triangle F_{1}PF_{2}$的面积为$\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=5$。

【典例 2】(1) 已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}= 1$,过椭圆中心的直线交椭圆于 $A$,$B$ 两点,$F_{2}$ 是椭圆的右焦点,则 $\triangle ABF_{2}$ 的周长的最小值为 (D)
A. $7$
B. $8$
C. $9$
D. $10$
(2) 在椭圆 $C$ 的 $4$ 个顶点和 $2$ 个焦点中,若存在不共线的三点恰为某个正方形的两个顶点和中心,则椭圆 $C$ 的离心率为 (C)
A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
(1)D
(2)C