《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

如图所示,在棱长为$1的正方体OABC - O_{1}A_{1}B_{1}C_{1}$中,$M$,$N分别是平面OAA_{1}O_{1}和平面O_{1}A_{1}B_{1}C_{1}$的中点. 试建立适当的空间直角坐标系,并求向量$\overrightarrow{OM}$,$\overrightarrow{ON}$,$\overrightarrow{MN}$的坐标.

答案： 【解析】如图在空间直角坐标系$O-xyz$中,$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{i}$,$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{j}$,$\overrightarrow{OO_{1}}=\boldsymbol{k}$,
则$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\boldsymbol{i}+\frac{1}{2}\boldsymbol{k}=(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$,$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\boldsymbol{i}+\frac{1}{2}\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$,所以$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\boldsymbol{i}+\frac{1}{2}\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}-(\frac{1}{2}\boldsymbol{i}+\frac{1}{2}\boldsymbol{k})=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.

【典例3】已知向量$\boldsymbol{a}= (1,1,0)$,$\boldsymbol{b}= (-1,0,2)$.
(1)若$(\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b})//(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$,求实数$k$；
(2)若向量$\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}与2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$所成角为锐角,求实数$k$的取值范围.

答案：
(1)$k=\frac{1}{2}$
(2)$\{k|k＞-1且k\neq\frac{1}{2}\}$

【典例4】已知空间三点$A(2,1,0)$,$B(2,2,1)$,$C(0,1,2)$.
(1)求$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$的值；
(2)若$(\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC})\perp(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$,求$k$的值.

答案：
(1)2
(2)$k=-\frac{2}{5}$

1. 已知$\boldsymbol{a}= (1,2,-y)$,$\boldsymbol{b}= (x,1,2)$,且$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})//(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$,则(B)
A.$x= \frac{1}{3}$,$y = 1$
B.$x= \frac{1}{2}$,$y= -4$
C.$x = 2$,$y= -\frac{1}{4}$
D.$x = 1$,$y= -1$

答案： B

2. 已知空间三点$O(0,0,0)$,$A(-1,1,0)$,$B(0,1,1)$,若直线$OA上的一点H满足BH\perp OA$,则点$H$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$.
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答案： $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$