《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关. 某选手射中第一个目标的概率为 0.8,继续射击,射中第二个目标的概率为 0.5,则这个选手过关的概率为0.4.

答案： 0.4

【典例 2】一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令 $ A= \{ 一个家庭中既有男孩又有女孩 \},B= \{ 一个家庭中最多有一个女孩 \} $. 对下面两种情形,讨论 $ A $ 与 $ B $ 的独立性：
(1) 家庭中有两个小孩；
(2) 家庭中有三个小孩.

答案：
(1) 家庭中有两个小孩
设男孩为$B$，女孩为$G$，则样本空间$\varOmega=\{(B,B),(B,G),(G,B),(G,G)\}$，共$n = 4$个样本点。
$A =\{(B,G),(G,B)\}$，$P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$B=\{(B,B),(B,G),(G,B)\}$，$P(B)=\frac{3}{4}$。
$A\cap B =\{(B,G),(G,B)\}$，$P(A\cap B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
$P(A)P(B)=\frac{1}{2}×\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\neq P(A\cap B)$。
所以$A$与$B$不独立。
(2) 家庭中有三个小孩
样本空间$\varOmega =\{(B,B,B),(B,B,G),(B,G,B),(G,B,B),(B,G,G),(G,B,G),(G,G,B),(G,G,G)\}$，共$n = 8$个样本点。
$A=\{(B,B,G),(B,G,B),(G,B,B),(B,G,G),(G,B,G),(G,G,B)\}$，$P(A)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。
$B=\{(B,B,B),(B,B,G),(B,G,B),(G,B,B)\}$，$P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
$A\cap B=\{(B,B,G),(B,G,B),(G,B,B)\}$，$P(A\cap B)=\frac{3}{8}$。
$P(A)P(B)=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}=P(A\cap B)$。
所以$A$与$B$独立。
综上，（1）中$A$与$B$不独立；（2）中$A$与$B$独立。

(多选题)将甲、乙、丙、丁 4 名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊,每个村庄至少派 1 名医生,$ A $ 表示事件“医生甲被派往①村庄”；$ B $ 表示事件“医生乙被派往①村庄”；$ C $ 表示事件“医生乙被派往②村庄”,则(BD)
A.事件 $ A $ 与 $ B $ 相互独立
B.事件 $ A $ 与 $ C $ 不相互独立
C.$ P(B|A)= \frac{5}{12} $
D.$ P(C|A)= \frac{5}{12} $

答案： BD

【典例 3】如图所示,用 $ a,b,c $ 三类不同的元件连接成两个系统 $ N_1,N_2 $. 当元件 $ a,b,c $ 都正常工作时,系统 $ N_1 $ 正常工作；当元件 $ a $ 正常工作且元件 $ b,c $ 至少有一个正常工作时,系统 $ N_2 $ 正常工作. 已知元件 $ a,b,c $ 正常工作的概率依次为 $ 0.80,0.90,0.90 $.

(1) 求系统 $ N_1 $ 正常工作的概率 $ P_1 $；
(2) 求系统 $ N_2 $ 正常工作的概率 $ P_2 $.

答案：
(1)
设“元件$a$正常工作”为事件$A$，“元件$b$正常工作”为事件$B$，“元件$c$正常工作”为事件$C$。
已知$P(A)=0.80$，$P(B)=0.90$，$P(C)=0.90$，且$A$，$B$，$C$相互独立。
系统$N_1$正常工作，即$A$，$B$，$C$都正常工作，根据相互独立事件同时发生的概率公式$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，可得：
$P_1 = P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90 = 0.648$。
(2)
设“$b$，$c$至少有一个正常工作”为事件$D$。
“$b$，$c$至少有一个正常工作”的对立事件$\overline{D}$是“$b$，$c$都不正常工作”。
因为$P(\overline{B}) = 1 - 0.90 = 0.10$，$P(\overline{C}) = 1 - 0.90 = 0.10$，且$B$，$C$相互独立，所以$P(\overline{D})=P(\overline{B}\overline{C})=P(\overline{B})P(\overline{C}) = 0.10×0.10 = 0.01$。
则$P(D)=1 - P(\overline{D}) = 1 - 0.01 = 0.99$。
系统$N_2$正常工作，即$A$与$D$同时发生，因为$A$与$D$相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率公式$P(AD)=P(A)P(D)$，可得：
$P_2 = P(A)P(D)=0.80×0.99 = 0.792$。
综上，
(1)中$P_1 = 0.648$；
(2)中$P_2 = 0.792$。