《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题1. 在画板上取两个定点 $ F_1 $ 和 $ F_2 $,把一条长度为定值且大于 $ F_1F_2 $ 的细绳的两端固定在 $ F_1 $,$ F_2 $ 两点.

(1) 如图所示,用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周,画出的轨迹是什么曲线？
(2) 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？

答案：
(1)提示:画出的轨迹是椭圆.
(2)提示:笔尖到两个定点的距离之和等于常数，这个常数大于两个定点间的距离.

问题2. 根据椭圆的几何特征,如何建立直角坐标系求椭圆的方程？

答案： 问题2.提示:以两定点F₁,F₂所在的直线为x轴，F₁F₂的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后按照求轨迹方程的步骤求出椭圆方程.

问题3. 在推导椭圆的标准方程的过程中,如何简化等式中的两个根式的运算？

答案： 问题3.提示:将其中一个根式移到另一端，两边平方后再平方即可.

1. 椭圆的定义
(1) 条件：平面内的两个定点 $ F_1 $,$ F_2 $,一个动点 $ P $.
(2) 关系：动点到两个定点的距离之和等于常数(大于|F₁F₂|).
(3) 相关概念：动点的轨迹叫作椭圆,两个定点 $ F_1 $,$ F_2 $ 叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离 $ |F_1F_2| $ 叫作椭圆的焦距.

答案：
(2)常数 |F₁F₂|
(3)焦点 焦距

2. 椭圆的标准方程

提醒：
(1) 焦点位置的确定：对于椭圆 $ \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}= 1(m＞0,n＞0) $,当 $ m＞n $ 时,焦点在 $ x $ 轴上；当 $ m ＜ n $ 时,焦点在 $ y $ 轴上.
(2) $ a $,$ b $,$ c $ 的几何意义：

$a^2 - b^2$

答案： $a^2 - b^2$