《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题.类比椭圆、双曲线的几何性质及其探究方法,你认为应研究抛物线 $ y^{2}= 2 p x(p＞0) $ 的哪些性质？

答案： 应研究范围、对称性、顶点、离心率等性质，可通过图象进行研究.

抛物线的几何性质

$x\geqslant 0,y\in R$ $x\leqslant 0,y\in R$ $x\in R,y\geqslant 0$ $x\in R,y\leqslant 0$
$x$轴 $y$轴 $O(0,0)$ $e=1$

答案： $x\geqslant 0,y\in R$ $x\leqslant 0,y\in R$ $x\in R,y\geqslant 0$ $x\in R,y\leqslant 0$
$x$轴 $y$轴 $O(0,0)$ $e=1$

【典例1】已知点 $ A(0,4) $,抛物线 $ C: x^{2}= 2 p y(0＜p＜4) $ 的准线为 $ l $,点 $ P $ 在 $ C $ 上,作 $ P H \perp l $ 于 $ H $,且 $ |P H|= |P A| $,$ \angle A P H= 120^{\circ} $,则抛物线方程为$x^{2}=\frac {16}{5}y$.

答案： $x^{2}=\frac {16}{5}y$

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 $ y^{2}= 2 p x(p＞0) $ 上. 求这个正三角形的边长.

答案： 这个正三角形的边长为$4\sqrt {3}p$.