《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

1. 圆 $ (x - 2)^{2}+y^{2}= 4 $ 与圆 $ x^{2}+(y - 2)^{2}= 4 $ 的公共弦所对的圆心角是(D)
A.$ 60^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $

答案： D

2. 已知圆 $ C_{1}:x^{2}+y^{2}= 1 $ 与圆 $ C_{2}:x^{2}+y^{2}-2x - 2y + 1 = 0 $。
求经过圆 $ C_{1} $ 与圆 $ C_{2} $ 交点的直线方程；
求圆 $ C_{1} $ 与圆 $ C_{2} $ 的公共弦长。
圆系方程

答案： 【解析】
(1)圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}=1$的圆心为$C_{1}(0,0)$，半径为$r_{1}=1.$
圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$，即$C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$，圆心$C_{2}(1,1)$，半径为$r_{2}=1$.所以$|r_{1}-r_{2}|＜|C_{1}C_{2}|=\sqrt {2}＜r_{1}+r_{2},$
故圆$C_{1}$与圆$C_{2}$相交.
将圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}=1$与圆$C_{2}:x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$的方程相减，可得$x+y-1=0,$
即经过圆$C_{1}$与圆$C_{2}$交点的直线方程为$x+y-1=0.$
(2)圆$C_{1}:x^{2}+y^{2}=1$的圆心$C_{1}(0,0)$，半径为1，点$(0,0)$到直线$x+y-1=0$的距离为$d=\frac {1}{\sqrt {2}}=\frac {\sqrt {2}}{2}$，故圆$C_{1}$与圆$C_{2}$的公共弦长为$2\sqrt {1^{2}-(\frac {\sqrt {2}}{2})^{2}}=\sqrt {2}.$

【典例 3】已知一个圆经过直线 $ l:2x + y + 4 = 0 $ 与圆 $ C:x^{2}+y^{2}+2x - 4y = 0 $ 的两个交点,并且有最小面积,求此圆的方程。

答案： 【解析】可设圆的方程为$x^{2}+y^{2}+2x-4y+λ(2x+y+4)=0$，即$x^{2}+y^{2}+2(1+λ)x+(λ-4)y+4λ=0$，此时圆心坐标为$(-1-λ,\frac {4-λ}{2})$，显然当圆心在直线$2x+y+4=0$上时，圆的半径最小，从而面积最小，所以$2(-1-λ)+\frac {4-λ}{2}+4=0$，解得$λ=\frac {8}{5}$，则所求圆的方程为$x^{2}+y^{2}+\frac {26}{5}x-\frac {12}{5}y+\frac {32}{5}=0.$