《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

(1) 直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 的斜率是方程 $ x^2 - 3x - 1 = 0 $ 的两根,则 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 的位置关系是(D)
A.平行
B.重合
C.相交但不垂直
D.垂直

答案： D

(2) 已知两条直线 $ y = ax - 2 $ 和 $ y = (a + 2)x + 1 $ 互相垂直,则实数 $ a = $ -1.

答案： -1

(3) $ \triangle ABC $ 的三个顶点分别为 $ A(2, 0) $,$ B(4, 4) $,$ C(0, 3) $,求：
① $ AC $ 边所在直线的方程；
② $ AC $ 边的垂直平分线 $ DE $ 所在直线的方程.

答案： 【解析】①直线AC的斜率$k=-\frac{3}{2},$由点斜式得直线AC的方程为$y-0=-\frac{3}{2}(x-2),$即3x+2y-6=0.
②因为直线AC的斜率$k=-\frac{3}{2},AC⊥DE,$所以直线DE的斜率为$\frac{2}{3}.$又因为线段AC的中点坐标为$(1,\frac{3}{2}),$所以直线DE的方程为$y-\frac{3}{2}=\frac{2}{3}(x-1),$即4x-6y+5=0.

1. “$ m = 1 $”是“直线 $ l_1: (m - 4)x + my + 1 = 0 $ 与直线 $ l_2: mx + (m + 2)y - 2 = 0 $ 互相垂直”的(A)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A

2. 已知点 $ A(2, 0) $ 与 $ B(0, 4) $ 关于直线 $ ax + y + b = 0 $ 对称,则 $ a $,$ b $ 的值分别为(B)
A.$ 1 $,$ 3 $
B.$ -\frac{1}{2} $,$ -\frac{3}{2} $
C.$ -2 $,$ 0 $
D.$ \frac{1}{2} $,$ -\frac{5}{2} $

答案： B

(1) 直线 $ 2x + y - 1 = 0 $ 与直线 $ 3x + y - 2 = 0 $ 的交点坐标是(C)
A.$ (2, 2) $
B.$ (2, -2) $
C.$ (1, -1) $
D.$ (1, 1) $

答案： C

(2)(多选题)若三条直线 $ l_1: ax + y + 1 = 0 $,$ l_2: x + ay + 1 = 0 $,$ l_3: x + y + a = 0 $ 不能围成三角形,则 $ a $ 的取值可以为(ABC)
A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ -2 $
D.$ 2 $

答案： ABC

1. 如果两条直线 $ 2x + 3y - k = 0 $ 和 $ x - ky + 12 = 0 $ 的交点在 $ y $ 轴上,那么 $ k $ 的值是(C)
A.$ -24 $
B.$ 6 $
C.$ \pm 6 $
D.$ 24 $

答案： C

2. 经过两直线 $ l_1: 3x + 4y - 2 = 0 $ 和 $ l_2: 2x + y + 2 = 0 $ 的交点且过坐标原点的直线 $ l $ 的方程是 x+y=0.

答案： x+y=0