《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

1. 经过点 $ P(2,m) $ 和 $ Q(2m,5) $ 的直线的斜率等于 $ \frac{1}{2} $,则 $ m $ 的值是(B)
A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 1 $ 或 $ 3 $
D.$ 1 $ 或 $ 4 $

答案： B

2. 已知直线 $ l $ 的一个方向向量是 $ (\sqrt{3},1) $,则该直线的斜率为 $\frac {\sqrt {3}}{3}$.

答案： $\frac {\sqrt {3}}{3}$

【典例 3】(1) 直线 $ l $ 经过点 $ A(2,1) $,$ B(3,t^2) $($ -\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2} $),则直线 $ l $ 的倾斜角的取值范围是 $[0,\frac {π}{4}]\cup [\frac {3π}{4},π)$.
(2) 经过 $ A(2,1) $,$ B(1,m^2) $ 两点的直线 $ l $ 的倾斜角为锐角,则 $ m $ 的取值范围是 $(-1,1)$.

答案：
(1)$[0,\frac {π}{4}]\cup [\frac {3π}{4},π)$
(2)$(-1,1)$

【典例 4】已知两点 $ A(-3,4) $,$ B(3,2) $,过点 $ P(1,0) $ 的直线 $ l $ 与线段 $ AB $ 有公共点,则直线 $ l $ 的斜率 $ k $ 的取值范围是(D)
A.$ (-1,1) $
B.$ (-\infty,-1) \cup (1,+\infty) $
C.$ [-1,1] $
D.$ (-\infty,-1] \cup [1,+\infty) $
【母题变式】
本题条件不变,试求直线 $ l $ 的倾斜角的取值范围.
由图象可知,直线l与线段AB有公共点,即直线l绕着点P从PB逆时针旋转到PA，故倾斜角的取值范围为$[\frac {π}{4},\frac {3π}{4}].$

答案： D
@@由图象可知,直线l与线段AB有公共点,即直线l绕着点P从PB逆时针旋转到PA，故倾斜角的取值范围为$[\frac {π}{4},\frac {3π}{4}].$

【典例 5】求证：$ A(1,-1) $,$ B(-2,-7) $,$ C(0,-3) $ 三点共线.

答案： 因为$A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3),$所以$k_{AB}=\frac {-7-(-1)}{-2-1}=2,k_{AC}=\frac {-3-(-1)}{0-1}=2.$所以$k_{AB}=k_{AC}.$因为直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A，所以直线AB与直线AC为同一直线.故A,B,C三点共线.

已知直线的方程为 $ x \sin \alpha - y + 2 = 0 $（$ \alpha \in \mathbf{R} $），则该直线的倾斜角 $ \theta $ 的取值范围是（D）
A.$ [0,\frac{\pi}{4}] \cup (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}] $
B.$ [0,\frac{3\pi}{4}] $
C.$ [\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}] $
D.$ [0,\frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4},\pi) $

答案： D