《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例 3】
已知点 $ A(1,3) $,$ B(3,1) $,$ C(-1,0) $,则 $ \triangle ABC $ 的面积等于(C)
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $

答案： C

【典例 4】
已知正方形的中心为直线 $ 2x - y + 2 = 0 $ 与 $ x + y + 1 = 0 $ 的交点,正方形一边所在的直线 $ l $ 的方程为 $ x + 3y - 5 = 0 $,求正方形其他三条边所在直线的方程.
【母题变式】
求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线的方程.

答案： 【解析】设与直线l:$x+3y-5=0$平行的边所在直线的方程为$l_{1}:x+3y+c=0(c≠-5)$.由$\left\{\begin{array}{l} 2x-y+2=0,\\ x+y+1=0,\end{array}\right. $得正方形的中心坐标为P(-1,0),由点P到两条直线l,$l_{1}$的距离相等,$\frac{|-1-5|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\frac{|-1+c|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}$,解得c=7或c=-5(舍),所以$l_{1}:x+3y+7=0$.又正方形另外两条边所在直线与l垂直,所以设另外两条边所在直线的方程分别为$3x-y+a=0$,$3x-y+b=0$.因为正方形中心到四条边的距离相等,所以$\frac{|-3+a|}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|-1-5|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}$,得a=9或a=-3,所以另外两条边所在直线的方程分别为$3x-y+9=0$,$3x-y-3=0$.所以其他三条边所在直线的方程分别为$3x-y+9=0$,$x+3y+7=0$,$3x-y-3=0$.
@@【解析】由例题知,正方形中心坐标为P(-1,0),则与OP垂直的直线到原点的距离最大.因为$k_{OP}=0$,所以所求的直线方程为$x=-1$.

1. 已知 $ \triangle ABC $ 中,$ A(1,1) $,$ B(m,\sqrt{m})(1 ＜ m ＜ 4) $,$ C(4,2) $,求当 $ m $ 为何值时,$ \triangle ABC $ 的面积最大.

答案： 【解析】因为A(1,1),C(4,2),又AC边所在直线的方程为$x-3y+2=0$,根据点到直线的距离公式,可得点$B(m,\sqrt{m})$到直线AC的距离$d=\frac{|m-3\sqrt{m}+2|}{\sqrt{10}}$.所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|AC|\cdot d=\frac{1}{2}|m-3\sqrt{m}+2|=\frac{1}{2}|(\sqrt{m}-\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}|$.因为1＜m＜4,所以$1＜\sqrt{m}＜2$,$-\frac{1}{2}＜\sqrt{m}-\frac{3}{2}＜\frac{1}{2}$.所以$0\leq (\sqrt{m}-\frac{3}{2})^{2}＜\frac{1}{4}$,所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}[\frac{1}{4}-(\sqrt{m}-\frac{3}{2})^{2}]$.所以当$\sqrt{m}-\frac{3}{2}=0$,即$m=\frac{9}{4}$时,△ABC的面积最大.