《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题1. 观察如图所示的直线$l$,思考下列问题：

(1) 直线$l经过点P_{1}(x_{1},y_{1})$,$P_{2}(x_{2},y_{2})$(其中$x_{1}\neq x_{2}$),那么直线$l$的点斜式方程是什么？
(2) 方程$y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}(x - x_{1})(x_{1}\neq x_{2})是否一定能写成\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}}$？

答案：
(1)提示:由x₁≠x₂,得所求直线的斜率为k=$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,则直线的点斜式方程为y-y₁=$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$(x-x₁).
(2)提示:不一定,只有当y₁≠y₂时,才可以写成$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$=$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$的形式.

问题2. 若直线$l经过点A(a,0)与点B(0,b)$($ab\neq0$),则直线$l$的两点式方程是什么？

答案： 提示:当a≠0且b≠0时,直线l的两点式方程为$\frac{y-0}{b-0}$=$\frac{x-a}{0-a}$;当a=0或b=0时,直线l没有两点式方程.

直线的两点式、截距式方程

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$=$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1

答案： $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$=$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ $\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1

【典例1】在$\triangle ABC$中,$A(-3,2)$,$B(5,-4)$,$C(0,-2)$,
(1) 求$BC$所在直线的方程；
(2) 求$BC$边上的中线所在直线的方程.

答案：
(1)因为BC所在直线过B(5,-4),C(0,-2)两点,所以由两点式得$\frac{y-(-4)}{(-2)-(-4)}$=$\frac{x-5}{0-5}$,即2x+5y+10=0.故BC所在直线的方程为2x+5y+10=0.
(2)设BC的中点为M(x₀,y₀),则x₀=$\frac{5+0}{2}$=$\frac{5}{2}$,y₀=$\frac{(-4)+(-2)}{2}$=-3,所以M($\frac{5}{2}$,-3).又BC边上的中线经过点A(-3,2).所以由两点式得$\frac{y-2}{-3-2}$=$\frac{x-(-3)}{\frac{5}{2}-(-3)}$,即10x+11y+8=0.故BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0.