《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例2】若方程$x^{2}+y^{2}-2ax + a^{2}+2a - 3 = 0$表示圆,求实数$a$的取值范围。
【母题变式】
1. 本例的条件不变,且$A(a,a)$在圆外,试求实数$a$的取值范围。
2. 本例的条件不变,若圆的半径为$2\sqrt{6}$,求实数$a$的值。

答案： [解析]由题意,得$(-2a)^{2}-4(a^{2}+2a-3)＞0$,解得$a＜\frac{3}{2}$,故实数a的取值范围为$(-\infty,\frac{3}{2})$.
1.[解析]因为点$A(a,a)$在圆$x^{2}+y^{2}-2ax+a^{2}+2a-3=0$外,得$\sqrt{(a-a)^{2}+(a-0)^{2}}＞\sqrt{3-2a}$,解得$a＜-3$或$a＞1$,又$a＜\frac{3}{2}$,所以$a＜-3$或$1＜a＜\frac{3}{2}$,故实数a的取值范围是$(-\infty,-3)\cup(1,\frac{3}{2})$.
2.[解析]$r=\sqrt{\frac{-8a+12}{4}}=\sqrt{-2a+3}=2\sqrt{6}$,解得$a=-\frac{21}{2}$.

已知$a\in\mathbf{R}$,若方程$a^{2}x^{2}+(a + 2)y^{2}+4x + 8y + 5a = 0$表示圆,求该圆的圆心坐标、半径。

答案： [解析]由题可得$a^{2}=a+2$,解得$a=-1$或$a=2$.当$a=-1$时,方程为$x^{2}+y^{2}+4x+8y-5=0$表示圆,该圆的圆心为$(-2,-4)$,半径为5.当$a=2$时,方程不表示圆.

【典例3】已知$P$,$Q为圆x^{2}+y^{2}= 4$上的动点,$A(2,0)$,$B(1,1)$为定点。
(1)求线段$AP中点M$的轨迹方程；
(2)若$\angle PBQ = 90^{\circ}$,求线段$PQ中点N$的轨迹方程。

答案：
(1)[解析]设AP中点为$M(x,y)$,由中点坐标公式可知,点P的坐标为$(2x-2,2y)$.因为点P在圆$x^{2}+y^{2}=4$上,所以$(2x-2)^{2}+(2y)^{2}=4$.故线段AP中点M的轨迹方程为$(x-1)^{2}+y^{2}=1$.
(2)[解析]设PQ的中点为$N(x_{0},y_{0})$,在$Rt\triangle PBQ$中,$|PN|=|BN|$,设O为坐标原点,连接ON(图略),则$ON\perp PQ$,所以$|OP|^{2}=|ON|^{2}+|PN|^{2}=|ON|^{2}+|BN|^{2}$,所以$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+(x_{0}-1)^{2}+(y_{0}-1)^{2}=4$.故PQ中点N的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}-x-y-1=0$.

设定点$M(-3,4)$,动点$N在圆x^{2}+y^{2}= 4$上运动,以$OM$,$ON为两边作平行四边形MONP$,求点$P$的轨迹。

答案： [解析]如图所示,设$P(x,y),N(x_{0},y_{0})$,则线段OP的中点坐标为$(\frac{x}{2},\frac{y}{2})$,线段MN的中点坐标为$(\frac{x_{0}-3}{2},\frac{y_{0}+4}{2})$.由于平行四边形的对角线互相平分,故$\frac{x}{2}=\frac{x_{0}-3}{2},\frac{y}{2}=\frac{y_{0}+4}{2}$,从而$\begin{cases}x_{0}=x+3,\\y_{0}=y-4,\end{cases}$又点$N(x+3,y-4)$在圆O上,故$(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=4$.当点P在直线OM上时,有$x=-\frac{9}{5},y=\frac{12}{5}$或$x=-\frac{21}{5},y=\frac{28}{5}$.因此所求轨迹为圆$(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=4$,除去点$(-\frac{9}{5},\frac{12}{5})$和点$(-\frac{21}{5},\frac{28}{5})$.

【典例4】以$A(-3,-1)$,$B(5,5)$两点为直径端点的圆的方程是$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$。

答案： $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$