《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

已知$\triangle ABC三个顶点的坐标A(2,-1)$,$B(2,2)$,$C(4,1)$,求三角形三条边所在直线的方程.

答案： 因为A,B两点的横坐标相同,所以直线AB与x轴垂直,故其方程为x=2.由直线方程的两点式可得,直线AC的方程为$\frac{y-1}{-1-1}$=$\frac{x-4}{2-4}$,即x-y-3=0.同理可由直线方程的两点式得,直线BC的方程为$\frac{y-2}{1-2}$=$\frac{x-2}{4-2}$,即x+2y-6=0.所以AB,AC,BC三条边所在直线的方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.

【典例2】(教材练习3(2))经过点$(1,2)$,且在$x轴和y$轴上的截距相等的直线有几条？请写出这些直线的方程.
【母题变式】
1. 将本例中的“截距相等”改为“截距互为相反数”,其他条件不变,求直线的方程.
2. 已知直线$l过点(1,2)$,且在纵轴上的截距为在横轴上的截距的两倍,求直线$l$的方程.
3. 如图所示,已知直线$l过点P(1,2)$,且与$x$轴,$y轴的正半轴分别交于A$,$B$两点,$O$为坐标原点,求$\triangle OAB$面积的最小值.

答案： 经过点(1,2),且在x轴和y轴上的截距相等的直线有两条.当所求的直线不过原点时,设所求直线的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{a}$=1,因为直线过点(1,2),所以$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$=1,所以a=3,所以直线的方程为$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{3}$=1,即x+y-3=0;当所求的直线过原点时,设所求直线的方程为y=kx,因为直线过点(1,2),所以k=2,所以直线的方程为y=2x,即2x-y=0.所以直线的方程为x+y-3=0,2x-y=0.
@@1.【解析】
(1)当直线过原点时,又由直线经过点(1,2),得所求直线的方程为2x-y=0.
(2)当直线不过原点时,设所求直线的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{-a}$=1,代入点(1,2),得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{-a}$=1,解得a=-1,此时直线的方程为$\frac{x}{-1}$+$\frac{y}{1}$=1,整理得x-y+1=0.故直线的方程为2x-y=0或x-y+1=0.2.【解析】根据题意,可分2种情况讨论:当直线过原点时,又由直线经过点(1,2),得所求直线的方程为y=2x,整理得2x-y=0.当直线不过原点时,设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{2a}$=1,代入点(1,2),得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{2a}$=1,解得a=2,此时直线l的方程为$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{4}$=1,整理为2x+y-4=0.故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.3.【解析】设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1(a＞0,b＞0),因为直线l过点P(1,2),所以$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1,△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$ab.对$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1,利用基本不等式得1=$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{1}{a}·\frac{2}{b}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ab}}$,即ab≥8.于是,△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$ab≥4.当且仅当a=2,b=4时等号成立.故△OAB面积的最小值为4.

已知直线$l:\frac{x}{m} + \frac{y}{4 - m} = 1$.
(1) 若直线$l的斜率等于2$,求实数$m$的值；
(2) 若直线$l分别与x$轴的正半轴、$y轴的正半轴交于A$,$B$两点,$O$是坐标原点,求$\triangle AOB面积的最大值及此时直线l$的方程.

答案：
(1)易知直线l过点(m,0),(0,4-m),则k=$\frac{4-m}{-m}$=2,解得m=-4.
(2)由m＞0,4-m＞0,得0＜m＜4,则S△AOB=$\frac{m(4-m)}{2}$=$\frac{-(m-2)^2+4}{2}$,易知当m=2时,S△AOB有最大值2,此时直线l的方程为x+y-2=0.