《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例 3】
如图,已知四边形 $ABCD$ 是直角梯形,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$SA\perp$ 平面 $ABCD$,$SA = AB = BC = 1$,$AD= \frac{1}{2}$,试建立适当的空间直角坐标系,求：
(1) 平面 $ABCD$ 的一个法向量；
(2) 平面 $SAB$ 的一个法向量；
(3) 平面 $SCD$ 的一个法向量.

答案：
(1)因为$SA⊥$平面 ABCD,所以$\overrightarrow {AS}=(0,0,1)$是平面 ABCD 的一个法向量.
(2)因为$AD⊥AB,AD⊥SA,AB\cap SA=A$,所以$AD⊥$平面 SAB,所以$\overrightarrow {AD}=(\frac {1}{2},0,0)$是平面 SAB 的一个法向量.
(3)在平面 SCD 中,$\overrightarrow {DC}=(\frac {1}{2},1,0),\overrightarrow {SC}=(1,1,-1).$设平面 SCD 的法向量是$n=(x,y,z)$,则$n⊥\overrightarrow {DC},n⊥\overrightarrow {SC}$,所以$\left\{\begin{array}{l} n\cdot \overrightarrow {DC}=0,\\ n\cdot \overrightarrow {SC}=0,\end{array}\right. $得方程组$\left\{\begin{array}{l} \frac {1}{2}x+y=0,\\ x+y-z=0,\end{array}\right. $所以$\left\{\begin{array}{l} x=-2y,\\ z=-y,\end{array}\right. $令$y=-1$,得$x=2,z=1$,所以平面 SCD 的一个法向量为$(2,-1,1).$

【典例 4】
(1) 在空间直角坐标系 $O - xyz$ 中,点 $A(1,2,3)$,$B(2,3,1)$,$C(0,-1,3)$,若点 $M(x,y,z)$ 在平面 $ABC$ 内,则 $x$,$y$,$z$ 应满足的关系为 $$3x - y + z = 4$$.
(2) 设经过原点的平面 $\alpha$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}= (6,3,2)$.
① 求平面 $\alpha$ 的方程；
② 若 $A(-2,0,0)$,$C(a,\frac{4}{3},2)$,直线 $AC$ 与平面 $\alpha$ 的交点为 $E$,且 $\overrightarrow{AE}= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$,求 $a$.

答案：
(1)$3x-y+z=4$
(2)【解析】①设平面α内任意一点$P(x,y,z)$,O 为原点,则$\overrightarrow {OP}⊥n$,所以$\overrightarrow {OP}\cdot n=0$,所以$(x,y,z)\cdot (6,3,2)=0$,即$6x+3y+2z=0$,所以平面α的方程为$6x+3y+2z=0.$
②由$\overrightarrow {AE}=\frac {1}{2}\overrightarrow {AC}$得 E 是 AC 的中点,所以$E(\frac {a-2}{2},\frac {2}{3},1)$,又 E 点在平面α内,所以$6×\frac {a-2}{2}+3×\frac {2}{3}+2=0$,得$a=\frac {2}{3}.$

已知平面 $\alpha$ 内的两个向量 $\boldsymbol{a}= (1,1,1)$,$\boldsymbol{b}= (0,2,-1)$,且 $\boldsymbol{c}= m\boldsymbol{a}+n\boldsymbol{b}+(4,-4,1)$. 若 $\boldsymbol{c}$ 为平面 $\alpha$ 的法向量,则 $m$,$n$ 的值分别为(A)
A.$-1$,$2$
B.$1$,$-2$
C.$1$,$2$
D.$-1$,$-2$

答案： A