《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1) 焦点坐标分别为 $ (0,-2) $,$ (0,2) $,经过点 $ (4,3\sqrt{2}) $;
(2) 经过两点 $ (2,-\sqrt{2}) $,$ (-1,\frac{\sqrt{14}}{2}) $.

答案： [解析]
(1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为$\frac {y^{2}}{a^{2}}+\frac {x^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0).$
因为所求椭圆过点$(4,3\sqrt {2})$，所以$\frac {18}{a^{2}}+\frac {16}{b^{2}}=1.$
又$c^{2}=a^{2}-b^{2}=4$，解得$a^{2}=36,b^{2}=32,$
所以椭圆的标准方程为$\frac {y^{2}}{36}+\frac {x^{2}}{32}=1.$
(2)设椭圆的一般方程为$Ax^{2}+By^{2}=1(A＞0,B＞0,A≠B).$
将两点$(2,-\sqrt {2}),(-1,\frac {\sqrt {14}}{2})$代入，得$\left\{\begin{array}{l} 4A+2B=1,\\ A+\frac {14}{4}B=1,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} A=\frac {1}{8},\\ B=\frac {1}{4},\end{array}\right. $所以所求椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{8}+\frac {y^{2}}{4}=1.$

求出适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1) 焦点坐标为 $ (-4,0) $,$ (4,0) $,并且过点 $ (-\sqrt{5},\sqrt{3}) $;
(2) 经过点 $ (\sqrt{6},1) $,$ (-\sqrt{3},-\sqrt{2}) $.

答案： [解析]
(1)由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为$\frac {x^{2}}{a^{2}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0).$
由已知得$c=4$，所以$a^{2}-b^{2}=16$.①
因为点$(-\sqrt {5},\sqrt {3})$在椭圆上，所以$\frac {(-\sqrt {5})^{2}}{a^{2}}+\frac {(\sqrt {3})^{2}}{b^{2}}=1$，即$\frac {5}{a^{2}}+\frac {3}{b^{2}}=1$.②
由①②得$a^{2}=20,b^{2}=4$.因此，所求椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{20}+\frac {y^{2}}{4}=1.$
(2)设椭圆的方程为$Ax^{2}+By^{2}=1(A＞0,B＞0$，且$A≠B).$
由已知得$\left\{\begin{array}{l} 6A+B=1,\\ 3A+2B=1,\end{array}\right. $解得$A=\frac {1}{9},B=\frac {1}{3}.$
因此，所求椭圆的标准方程为$\frac {x^{2}}{9}+\frac {y^{2}}{3}=1.$