《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例1】(1)已知$\boldsymbol{a}= (-1,2,1)$,$\boldsymbol{b}= (2,0,1)$,则$(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})= $-4.
(2)在$\triangle ABC$中,$A(2,-5,3)$,$\overrightarrow{AB}= (4,1,2)$,$\overrightarrow{BC}= (3,-2,5)$.
①求顶点$B$,$C$的坐标；
②求$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC}$；
③若点$P在AC$上,且$\overrightarrow{AP}= \frac{1}{2}\overrightarrow{PC}$,求点$P$的坐标.
(2)①点B的坐标为$(6,-4,5)$.点C的坐标为$(9,-6,10)$.
②$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC}=-58$.
③点P的坐标为$(\frac{13}{3},-\frac{16}{3},\frac{16}{3})$.

答案：
(1)-4
(2)①点B的坐标为$(6,-4,5)$.点C的坐标为$(9,-6,10)$.
②$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC}=-58$.
③点P的坐标为$(\frac{13}{3},-\frac{16}{3},\frac{16}{3})$.

已知在空间直角坐标系中,$A(1,-2,4)$,$B(-2,3,0)$,$C(2,-2,-5)$.
(1)求$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}$,$\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{BA}$,$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$；
(2)若点$M满足\overrightarrow{AM}= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$,求点$M$的坐标.

答案：
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=(-4,5,5)$.$\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{BA}=(-10,15,-3)$.$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=33$.
(2)$M(\frac{1}{4},\frac{1}{2},-\frac{19}{4})$

【典例2】(1)已知点$A在基\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}下的坐标为(8,6,4)$,其中$\boldsymbol{a}= \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}$,$\boldsymbol{b}= \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$,$\boldsymbol{c}= \boldsymbol{k}+\boldsymbol{i}$,则点$A在基\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$下的坐标是(A)
A. $(12,14,10)$
B. $(10,12,14)$
C. $(14,12,10)$
D. $(4,3,2)$
(2)已知在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC = AA_{1} = 4$,$M为BC_{1}$的中点,$N为A_{1}B_{1}$的中点,建立适当的空间直角坐标系,求向量$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC_{1}}$,$\overrightarrow{BC_{1}}$的坐标.
以$A$为原点，分别以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AA_{1}}$的方向为$x$轴，$y$轴，$z$轴的正方向建立空间直角坐标系，则$\overrightarrow{AB}=(4,0,0)$，$\overrightarrow{AC_{1}}=(0,4,4)$，$\overrightarrow{BC_{1}}=(-4,4,4)$。

答案：
(1)A $\overrightarrow{OA}=8\boldsymbol{a}+6\boldsymbol{b}+4\boldsymbol{c}=8(\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j})+6(\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k})+4(\boldsymbol{k}+\boldsymbol{i})=12\boldsymbol{i}+14\boldsymbol{j}+10\boldsymbol{k}$.所以点A在基$\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$下的坐标为$(12,14,10)$.
(2)【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{i}$,$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{j}$,$\frac{1}{4}\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{k}$,$\overrightarrow{AB}=4\boldsymbol{i}+0\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}=(4,0,0)$,$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AC}=0\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}=(0,4,4)$,所以$\overrightarrow{BC_{1}}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_{1}}=-4\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}=(-4,4,4)$.