《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

2. 已知二项式$(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{x})^n$的展开式中共有 10 项.
求展开式第 5 项的二项式系数；
求展开式中的常数项.

答案： 【解析】
(1)由题意可得$n=9$,所以展开式第5项的二项式系数为$C_{9}^{4}=126.$
(2)展开式的通项为$T_{k+1}=C_{9}^{k}(\frac {\sqrt {x}}{2})^{9-k}\cdot (-\frac {1}{x})^{k}=(-1)^{k}\cdot (\frac {1}{2})^{9-k}C_{9}^{k}x^{\frac {9-3k}{2}}$,其中$k=0,1,2,\cdots ,9$,令$\frac {9-3k}{2}=0$,得$k=3$,所以展开式中的常数项为$(-1)^{3}\cdot (\frac {1}{2})^{6}C_{9}^{3}=-\frac {21}{16}.$

1. $(1 + x^2)(1 + x)^5的展开式中x^4$的系数为(C)
A.5
B.10
C.15
D.20

答案： C

2. $(1 + x + x^2)^8展开式中x^5$的系数为 504.

答案： 504

1. $(x + y - 2z)^5$的展开式中,$xy^2z^2$的系数是(A)
A.120
B.-120
C.60
D.30

答案： A

2. $(x^2 + 1)^2(x - 1)^6$的展开式中,$x^5$的系数为-52.

答案： -52

【典例 5】
试求$819^{10}$除以 8 的余数.

答案： 【解析】$819^{10}=(8×102+3)^{10}.$因为其展开式中除末项为$3^{10}$外,其余的各项均含有8这个因数,所以$819^{10}$除以8的余数与$3^{10}$除以8的余数相同.又因为$3^{10}=9^{5}=(8+1)^{5}$,其展开式中除末项为1外,其余的各项均含有8这个因数,所以$3^{10}$除以8的余数为1,即$819^{10}$除以8的余数为1.

求证：$2^{n + 2} \cdot 3^n + 5n - 4 (n \in N_+)$能被 25 整除.

答案： 【证明】原式$=4\cdot 6^{n}+5n-4=4(5+1)^{n}+5n-4=4(C_{n}^{0}\cdot 5^{n}+C_{n}^{1}\cdot 5^{n-1}+C_{n}^{2}\cdot 5^{n-2}+\cdots +C_{n}^{n})+5n-4=4(C_{n}^{0}\cdot 5^{n}+C_{n}^{1}\cdot 5^{n-1}+\cdots +C_{n}^{n-2}\cdot 5^{2}+C_{n}^{n-1}\cdot 5)+4C_{n}^{n}+5n-4=4(C_{n}^{0}\cdot 5^{n}+C_{n}^{1}\cdot 5^{n-1}+\cdots +C_{n}^{n-2}\cdot 5^{2})+20n+4+5n-4=4(C_{n}^{0}\cdot 5^{n}+C_{n}^{1}\cdot 5^{n-1}+\cdots +C_{n}^{n-2}\cdot 5^{2})+25n.$以上各项均为25的整数倍，故$2^{n+2}\cdot 3^{n}+5n-4$能被25整除.