《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

(1) 过点 $ (1,0) $ 且与圆 $ x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0 $ 相切的直线方程为(D)
A.$ 2x - y - 2 = 0 $
B.$ 3x - 4y - 3 = 0 $
C.$ 2x - y - 2 = 0 $ 或 $ x = 1 $
D.$ 3x - 4y - 3 = 0 $ 或 $ x = 1 $

答案：
(1)D

(2) 半径为 $ 1 $ 的圆 $ C $ 的圆心在第四象限,且与直线 $ y = 0 $ 和 $ \sqrt{3}x - y - 6 = 0 $ 均相切,求该圆的标准方程.

答案：
[解析]如图所示，
由题意可设圆心坐标为(a,−1)，
r=1.
则d=$\frac{|\sqrt{3}a + 1 - 6|}{\sqrt{(\sqrt{3})² + (-1)²}} = 1$，

即$|\sqrt{3}a - 5| = 2$，
解得$a = \sqrt{3}$或$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，故所求圆的方程
为$(x - \sqrt{3})² + (y + 1)² = 1$或$(x - \frac{7\sqrt{3}}{3})² + (y + 1)² = 1$。

已知圆 $ C $ 与直线 $ x - y = 0 $ 及 $ x - y - 4 = 0 $ 都相切,圆心在直线 $ x + y = 0 $ 上,求圆 $ C $ 的方程.

答案： [解析]由题意，设圆心$(a,-a)$，$a＞0$。因为$2r = \frac{|0 + 4|}{\sqrt{1 + 1}} = 2\sqrt{2}$，所以$r = \sqrt{2}$。由$\frac{|a + a|}{\sqrt{1 + 1}} = \sqrt{2}$，解得$a = 1$。
所以圆C的方程为$(x - 1)² + (y + 1)² = 2$。

【典例 3】
直线 $ l:3x - y - 6 = 0 $ 与圆 $ x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0 $ 相交于 $ A,B $ 两点,则 $ |AB| = $ $\sqrt{10}$.
【母题变式】
1. 本例的条件变为：圆心坐标为 $ (-2,1) $ 的圆,被直线 $ x - y - 1 = 0 $ 截得的弦长为 $ 2 $,求这个圆的方程.
2. 本例的条件变为：直线 $ 2x + y + 4 = 0 $ 和圆 $ x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0 $,求过直线与圆的交点,且面积最小的圆的方程.

答案： $\sqrt{10}$
@@1.[解析]由题意，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则$d = \frac{|-2 - 1 - 1|}{\sqrt{1² + (-1)²}} = 2\sqrt{2}$，所以弦长为$2\sqrt{r² - d²} = 2$，则$r² = 9$，所以圆的方程为$(x + 2)² + (y - 1)² = 9$。
2.[解析]圆$x² + y² + 2x - 4y + 1 = 0$，即$(x + 1)² + (y - 2)² = 4$，表示以$C(-1,2)$为圆心，半径等于2的圆。圆心C到直线$2x + y + 4 = 0$的距离为$d = \frac{|-2 + 2 + 4|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$，故弦长为$2\sqrt{r² - d²} = 2\sqrt{4 - \frac{16}{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$，故当面积最小时，圆的半径为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$。过点C且与$2x + y + 4 = 0$垂直的直线为$x - 2y + 5 = 0$，由$\begin{cases}2x + y + 4 = 0 \\ x - 2y + 5 = 0 \end{cases}$解得$\begin{cases}x = -\frac{13}{5} \\ y = \frac{6}{5} \end{cases}$，即所求圆的圆心为$(-\frac{13}{5},\frac{6}{5})$，故所求圆的方程为$(x + \frac{13}{5})² + (y - \frac{6}{5})² = \frac{4}{5}$。