《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

2. 空间向量的运算
(1) 空间向量的加减法


以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
以向量$\overrightarrow{OA}$=a的终点A为起点作$\overrightarrow{AB}$=b，则向量$\overrightarrow{OB}$叫做a与b的和，即a+b=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则.
推广：空间中任意两个向量都可以通过平移，将它们放在同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.因此，空间向量的加法运算可以按平面向量的加法法则来进行.
结论：空间向量的加法运算满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c).
与平面向量类似，我们定义空间向量的减法：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
如图，已知向量a，b，在空间任取一点O，作$\overrightarrow{OA}$=a，$\overrightarrow{OB}$=b，则$\overrightarrow{BA}$=a-b，即$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$.因此，空间向量的减法也符合三角形法则，此时，差向量是对角线，方向指向被减向量的终点.
(2) 空间向量的数乘运算

实数λ与空间向量a的乘积仍是一个向量，记作$\lambda\boldsymbol{a}$，称为向量的数乘运算.
当λ>0时，$\lambda\boldsymbol{a}$与向量a方向相同；当λ<0时，$\lambda\boldsymbol{a}$与向量a方向相反；λ$\boldsymbol{a}$的长度是a的长度的$|\lambda|$倍，即|λa|=|λ||a|.
当λ=0时，$\lambda\boldsymbol{a}$=$\mathbf{0}$.
空间向量的数乘运算满足分配律与结合律.
分配律：λ(a+b)=λa+λb，(λ+μ)a=λa+μa；
结合律：λ(μa)=(λμ)a.
(3) 共线向量基本定理
定理：空间两个向量$a$,$b$($b \neq \mathbf{0}$)共线的充要条件是存在唯一的实数$\lambda$,使得$a = \lambda b$. 通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)
如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于直线l上任意一点P，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使$\overrightarrow{AP}$=ta.①
其中向量a叫做直线l的方向向量.
在l上取$\overrightarrow{AB}$=a，则①式可化为$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$或$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{AB}$或$\overrightarrow{OP}$=(1-t)$\overrightarrow{OA}$+t$\overrightarrow{OB}$.②
①和②都称为空间直线的向量表示式，即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
推论：如图，l1与l2是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为v1和v2，则l1//l2或l1与l2重合⇔v1//v2⇔存在任意实数λ，使v1=λv2.

答案： 2.
(1)对角线 被减向量
(2)$\lambda\boldsymbol{a}$ $\lambda\boldsymbol{a}$ 相同 $\lambda\boldsymbol{a}$ $|\lambda|$ $\lambda\boldsymbol{a}$ 相反 $\lambda\boldsymbol{a}$ 任意

【典例1】(1)(多选题)给出下列命题,其中错误的有(ABD)
A.若$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$,则必有$A与C$重合,$B与D$重合,$AB与CD$为同一线段
B.若空间向量$m$,$n$,$p满足m // n$,$n // p$,则$m // p$
C.若空间向量$m$,$n$,$p满足m = n$,$n = p$,则$m = p$
D.非零向量$a$,$b$,$c满足a与b$,$b与c$,$c与a$都是共面向量,则$a$,$b$,$c$必共面

答案： ABD

(2) 给出下列四个命题：
① 方向相反的两个向量是相反向量；
② 若$a$,$b满足\vert a\vert ＞ \vert b\vert且a$,$b$同向,则$a ＞ b$；
③ 不相等的两个空间向量的模必不相等；
④ 对于任意向量$a$,$b$,必有$\vert a + b\vert \leq \vert a\vert + \vert b\vert$.
其中正确命题的序号为④.

答案： ④