《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

足球运动是备受学生喜爱的体育运动,某校开展足球技能测试,甲参加点球测试,他每次点球成功的概率均为 $ \frac{3}{5} $。他现有 3 次点球机会,并规定连续两次点球不成功即终止测试,否则继续下一次点球。已知甲不放弃任何一次点球机会。
(1)求甲恰好用完 3 次点球机会的概率；
(2)甲每次点球成功一次,可以获得 50 积分,记其获得的积分总和为 $ X $,求 $ X $ 的分布列和数学期望。

答案： （1）设事件 A：恰好用完 3 次机会，事件$\overline{A}$：前 2 次均不成功，依题意得，P(A)=1-P($\overline{A}$)=1-$(\frac{2}{5})^{2}=\frac{21}{25}$.
（2）易知 X 的所有可能取值为 0,50,100,150，P(X=0)=$(1-\frac{3}{5})^{2}=\frac{4}{25}$，P(X=50)=$\frac{3}{5}×(\frac{2}{5})^{2}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{5}=\frac{24}{125}$，P(X=150)=$(\frac{3}{5})^{3}=\frac{27}{125}$，P(X=100)=1-P(X=0)-P(X=50)-P(X=150)=$\frac{54}{125}$，所以 X 的分布列为
X
0
50
100
150
P
$\frac{4}{25}$
$\frac{24}{125}$
$\frac{54}{125}$
$\frac{27}{125}$
所以 EX=0×$\frac{4}{25}$+50×$\frac{24}{125}$+100×$\frac{54}{125}$+150×$\frac{27}{125}$=85.2.

【典例 3】(1)随机变量 $ X $ 的分布列如表,则 $ E(2X + 3) $ 的值为(B)

A.4.4
B.7.4
C.21.2
D.22.2

答案： （1）B 

(2)随机变量 $ \xi $ 的分布列如表,且满足 $ E\xi = 2 $,则 $ E(a\xi + b) $ 的值( )

A.等于 0
B.等于 1
C.等于 2
D.无法确定,与 $ a $,$ b $ 有关

答案： （2）B

1. 已知随机变量 $ X $ 的分布列是

若 $ EX = 7.5 $,则 $ a $ 等于(C)
A.5
B.6
C.7
D.8

答案： C

2. 已知离散型随机变量 $ \xi $ 的分布列如表,若随机变量 $ \eta = 3\xi + 1 $,则 $ \eta $ 的数学期望为(B)

A.3.2
B.3.4
C.3.6
D.3.8

答案： B