《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题 1.
在平面直角坐标系中,已知点 $ P(x_0,y_0) $,直线 $ l:Ax + By + C = 0 $,如何求点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离？

答案： 提示:①若点P在直线l上,则点P到直线l的距离为0.②若点P不在直线l上,过点P作直线l的垂线,垂线段的长度就是点P到直线l的距离.

问题 2.
已知直线 $ l $ 的方程和直线外一点 $ P(x_0,y_0) $,如何求点 $ P $ 到直线 $ l $ 的垂线段的长度？

答案： 提示:过点P作直线l'⊥l,垂足为Q,|PQ|即为所求.若直线l的斜率为k,则直线l'的斜率为$-\frac{1}{k}$.所以直线l'的方程为$y-y_{0}=-\frac{1}{k}(x-x_{0})$,联立l,l',解出Q点的坐标,利用两点间的距离公式求出|PQ|.

问题 3.
如果过点 $ P(x_0,y_0) $ 的直线 $ l' $ 与 $ l:Ax + By + C = 0 $ 平行,那么点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离和 $ l' $ 与 $ l $ 间的距离相等吗？

答案： 提示:相等.

问题 4.
怎样求两条平行直线 $ l_1:Ax + By + C_1 = 0 $,$ l_2:Ax + By + C_2 = 0 $ 间的距离？

答案： 提示:先在其中一条直线上任取一点P,然后求点P到另一条直线的距离d,d即为两条平行直线间的距离.

1. 两点间的距离公式
两点 $ A(x_1,y_1) $,$ B(x_2,y_2) $ 间的距离公式 $ |AB| = $$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$. 特别地,原点 $ O(0,0) $ 与任一点 $ P(x,y) $ 间的距离 $ |OP| = \sqrt{x^2 + y^2} $.

答案： $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

3. 两条平行直线间的距离
(1) 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
(2) 公式：直线 $ l_1:Ax + By + C_1 = 0 $,$ l_2:Ax + By + C_2 = 0 $ 间的距离 $ d = $ $\frac{|C_{2}-C_{1}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$(其中 $ A $,$ B $ 不全为 $ 0 $,且 $ C_1 \neq C_2 $).

答案： $\frac{|C_{2}-C_{1}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

(1) 已知 $ A(-1,0) $,$ B(5,6) $,$ C(3,4) $,则 $ \frac{|AC|}{|CB|} $ 的值为(D)
A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ 3 $
D.$ 2 $

答案： D

(2) 已知点 $ M(1,4) $ 到直线 $ l:mx + y - 1 = 0 $ 的距离为 $ 3 $,则实数 $ m = $(D)
A.$ 0 $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ 3 $
D.$ 0 $ 或 $ \frac{3}{4} $

答案： D

(3) 已知 $ \triangle ABC $ 三个顶点的坐标分别为 $ A(-3,1) $,$ B(3,-3) $,$ C(1,7) $,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状.

答案： 【解析】因为$k_{AC}=\frac{7-1}{1-(-3)}=\frac{3}{2}$,$k_{AB}=\frac{-3-1}{3-(-3)}=-\frac{2}{3}$,所以$k_{AC}\cdot k_{AB}=-1$,所以AC⊥AB.又$|AC|=\sqrt{(1+3)^{2}+(7-1)^{2}}=2\sqrt{13}$,$|AB|=\sqrt{(3+3)^{2}+(-3-1)^{2}}=2\sqrt{13}$,所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.