《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

问题. 已知 10 道试题中有 4 道选择题, 甲、乙两人依次不放回地抽取 1 道.
(1) 甲抽到选择题的概率是多少?
(2) 在甲抽到选择题的情况下, 乙抽到选择题的概率是多少?

答案：
(1)提示:甲抽到选择题的概率为$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.
(2)提示:在甲抽到选择题的情况下,乙抽到选择题的概率为$\frac{4-1}{10-1}=\frac{1}{3}$.

1. 条件概率的概念
(1) 定义: 设 $ A $, $ B $ 是两个事件, 且 $ P(A) ＞ 0 $, 则称 $ P(B|A) = $ $\frac{P(AB)}{P(A)}$为在 事件A发生的条件下事件 $ B $ 发生的条件概率.
(2) 读法: $ P(B|A) $ 读作 $ A $ 发生的条件下 $ B $ 发生的概率.

答案：
(1)$\frac{P(AB)}{P(A)}$ 事件A

2. 条件概率的性质
(1) $ 0 \leq P(B|A) \leq 1 $.
(2) 如果 $ B $ 与 $ C $ 是两个互斥事件, 则 $ P[(B \cup C)|A] = $ $P(B|A)+P(C|A)$.

答案：
(2)$P(B|A)+P(C|A)$

【典例 1】现有 6 个节目准备参加比赛, 其中 4 个舞蹈节目, 2 个语言类节目, 如果不放回地依次抽取 2 个节目, 求:
(1) 第 1 次抽到舞蹈节目的概率;
(2) 第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率;
(3) 在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下, 第 2 次抽到舞蹈节目的概率.

答案： 【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个,总的事件数$n(\varOmega )=A_{6}^{2}=30$.根据分步乘法计数原理,有$n(A)=A_{4}^{1}A_{5}^{1}=20$,所以$P(A)=\frac{n(A)}{n(\varOmega )}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$.
(2)因为$n(AB)=A_{4}^{2}=12$,所以$P(AB)=\frac{n(AB)}{n(\varOmega )}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$.
(3)方法一:由
(1)
(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{5}$.方法二:因为$n(AB)=12$,$n(A)=20$,所以$P(B|A)=\frac{n(AB)}{n(A)}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.

1. 抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为 $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $, 记事件 $ A = \{2, 3, 5\} $, $ B = \{1, 2, 4, 5, 6\} $, 则 $ P(A|B) = $ (C)
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{5} $
C.$ \frac{2}{5} $
D.$ \frac{3}{5} $

答案： C