《2025年金榜领航高二数学选择性必修第一册北师大版》

【典例 2】(教材例 3)给定空间直角坐标系,在 $ x $ 轴上找一点 $ P $,使它与点 $ P_0(4,1,2) $ 的距离为 $ \sqrt{30} $.
【母题变式】
本题变为：求到 $ A(4,5,6) $,$ B(-5,0,10) $ 两点的距离相等的点 $ P(x,y,z) $ 的坐标满足的条件.

答案： [解析]设$P(x,0,0)$，使它与点$P_{0}(4,1,2)$的距离为$\sqrt{30}$，则$\sqrt{(x-4)^{2}+(0-1)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{30}$，解得$x=9$或$x=-1$，故点P的坐标为$(9,0,0)$或$(-1,0,0)$.
@@[解析]因为点$P(x,y,z)$到A，B的距离相等，所以$\sqrt{(x-4)^{2}+(y-5)^{2}+(z-6)^{2}}=\sqrt{(x+5)^{2}+(y-0)^{2}+(z-10)^{2}}$，化简得$9x+5y-4z+24=0$，因此到A，B两点的距离相等的点$P(x,y,z)$的坐标满足的条件是$9x+5y-4z+24=0$.

若 $ A(1,2,1) $,$ B(2,2,2) $,点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,且 $ |PA| = |PB| $,则点 $ P $ 的坐标为 (3,0,0).

答案： (3,0,0)

【典例 3】已知正方形 $ ABCD $,正方形 $ ABEF $ 的边长都是 $ 1 $,且平面 $ ABCD \perp $ 平面 $ ABEF $,点 $ M $ 在 $ AC $ 上移动,点 $ N $ 在 $ BF $ 上移动,若 $ |CM| = |BN| = a(0 ＜ a ＜ \sqrt{2}) $.
(1) 求 $ |MN| $ 的长.
(2) 当 $ a $ 为何值时,$ |MN| $ 的长最小？

答案：
[解析]因为平面$ABCD\perp$平面ABEF，平面$ABCD\cap$平面$ABEF=AB$，$AB\perp BE$，所以$BE\perp$平面ABCD，所以AB，BC，BE两两垂直.过点M作$MG\perp AB$，$MH\perp BC$，垂足分别为G，H，连接NG，易证$NG\perp AB$.
因为$|CM|=|BN|=a$，所以$|CH|=|MH|=|BG|=|GN|=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，所以以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系$B - xyz$，则$M(\frac{\sqrt{2}}{2}a,0,1-\frac{\sqrt{2}}{2}a)$，$N(\frac{\sqrt{2}}{2}a,\frac{\sqrt{2}}{2}a,0)$.
(1)$|MN|=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}a-\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}+(0-\frac{\sqrt{2}}{2}a)^{2}+(1-\frac{\sqrt{2}}{2}a-0)^{2}}=\sqrt{a^{2}-\sqrt{2}a+1}=\sqrt{(a-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{1}{2}}$.

(2)由
(1)得，当$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$|MN|$最小，最小值为$\frac{1}{2}$，这时M，N恰好为AC，BF的中点.

在 $ xOy $ 平面内的直线 $ 2x - y = 0 $ 上确定一点 $ M $,使它到点 $ P(-3,4,5) $ 的距离最小,并求出 $ |MP| $ 的最小值.

答案： [解析]因为点M在xOy平面内的直线$2x - y = 0$上，所以设点$M(a,2a,0)$，则$|MP|=\sqrt{(a + 3)^{2}+(2a - 4)^{2}+(0 - 5)^{2}}=\sqrt{5a^{2}-10a + 50}=\sqrt{5(a - 1)^{2}+45}$，
所以当$a = 1$时，$|MP|$取最小值$3\sqrt{5}$，此时$M(1,2,0)$，
所以当点M坐标为$(1,2,0)$时，$|MP|$最小，最小值为$3\sqrt{5}$.