《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

变式训练 (1) 抛物线 $ y = -2(x - 1)^2 $ 的顶点坐标是$(1,0)$,对称轴是直线$x=1$。当 $ x $$＜1$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $$＞1$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
(2) 点 $ A(0, m) $ 和 $ B(2, m) $ 都在抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 上,则 $ h = $1。

答案：
(1) 顶点坐标是 $(1,0)$，对称轴是直线 $x=1$；当 $x＜1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；当 $x＞1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
故答案为：$(1,0)$；$x=1$；$＜1$；$＞1$
(对应填空答案依次为：$(1,0)$，$x=1$，$＜1$，$＞1$)
(2) $h=1$

例 2 抛物线 $ y = 4x^2 $ 的图象向右平移 $ 3 $ 个单位长度后得到抛物线$y = 4(x - 3)^2$；抛物线 $ y = -3(x - 1)^2 $ 的图象向左平移3个单位长度得到抛物线 $ y = -3(x + 2)^2 $。
名师导引 理清抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 与 $ y = ax^2 $ 的关系是解题的关键。

答案： 抛物线$y = 4x^2$的图象向右平移3个单位后得到抛物线$y = 4(x - 3)^2$；抛物线 $ y = -3(x - 1)^2 $ 的图象向左平移3个单位长度得到抛物线 $ y = -3(x + 2)^2 $。
故答案为：$y = 4(x - 3)^2$；左；3。

变式训练 抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 的图象向左平移 $ 5 $ 个单位长度后得到抛物线$y = \frac{1}{2}(x + 5)^2$；抛物线 $ y = \sqrt{3}(x + 2)^2 $ 的图象向右平移7个单位长度后得到抛物线 $ y = \sqrt{3}(x - 5)^2 $。

答案： 抛物线 $y = \frac{1}{2}x^2$ 的图象向左平移 5 个单位长度后得到抛物线 $y = \frac{1}{2}(x + 5)^2$；
抛物线 $y = \sqrt{3}(x + 2)^2$ 的图象向右平移 7 个单位长度后得到抛物线 $y = \sqrt{3}(x - 5)^2$。
（由于题目要求填空，故答案依次填入为：$y = \frac{1}{2}(x + 5)^2$；右；7）

1. 抛物线 $ y = -2x^2 $ 的图象向左平移 $ 3 $ 个单位长度后,得到的抛物线为(C)
A.$ y = -2x^2 + 3 $
B.$ y = -2x^2 - 3 $
C.$ y = -2(x + 3)^2 $
D.$ y = -2(x - 3)^2 $

答案： C

2. (2024 砀山二模) 对于二次函数 $ y = (x + 3)^2 $ 的图象,下列说法不正确的是(D)
A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = -3 $
C.顶点坐标为 $ (-3, 0) $
D.当 $ x ＜ -3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案： D

3. 二次函数 $ y = -3(x + 2)^2 $ 的图象开口向下,对称轴是直线$x=-2$,顶点坐标为$(-2,0)$。当 $ x $$\lt -2$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $$\gt -2$时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： 下；直线$x=-2$；$(-2,0)$；$\lt -2$；$\gt -2$

4. 已知函数 $ y = -(x - 2)^2 $ 的图象上有 $ A\left(-\frac{3}{2}, y_1\right) $,$ B(3, y_2) $,$ C(4, y_3) $ 三点,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是$ y_2 ＞ y_3 ＞ y_1 $。

答案： 解题步骤：
1. 确定二次函数的对称轴和开口方向
函数 $ y = -(x - 2)^2 $ 为顶点式，其中 $ h = 2 $，$ a = -1 $。
对称轴为直线 $ x = 2 $；
由于 $ a = -1 ＜ 0 $，抛物线开口向下，在对称轴左侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，在对称轴右侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
2. 计算各点到对称轴的距离
点 $ A\left(-\frac{3}{2}, y_1\right) $ 到对称轴 $ x = 2 $ 的距离：
$ \left| -\frac{3}{2} - 2 \right| = \left| -\frac{7}{2} \right| = \frac{7}{2} = 3.5 $；
点 $ B(3, y_2) $ 到对称轴 $ x = 2 $ 的距离：
$ |3 - 2| = 1 $；
点 $ C(4, y_3) $ 到对称轴 $ x = 2 $ 的距离：
$ |4 - 2| = 2 $。
3. 比较函数值大小
抛物线开口向下，距离对称轴越近的点，函数值越大。
距离大小关系：$ 3.5 ＞ 2 ＞ 1 $，
因此函数值大小关系：$ y_2 ＞ y_3 ＞ y_1 $。
结论：
$ y_2 ＞ y_3 ＞ y_1 $

5. 在同一平面直角坐标系内,画出函数 $ y = x^2 $,$ y = (x - 1)^2 $ 和 $ y = (x + 1)^2 $ 的图象,并指出这三个函数图象之间的位置关系,写出它们的对称轴、顶点坐标。

答案： 列表取值：
$y=x^2$：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
$y=(x-1)^2$：
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|-----|------|-----|-----|-----|-----|
| $y$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
$y=(x+1)^2$：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|
| $y$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ |
描点连线（根据给定坐标系绘制图象）：
$y=x^2$ 图象为开口向上的抛物线；
$y=(x-1)^2$ 图象为 $y=x^2$ 向右平移1个单位；
$y=(x+1)^2$ 图象为 $y=x^2$ 向左平移1个单位。
位置关系：
$y=(x-1)^2$ 由 $y=x^2$ 向右平移1个单位得到；
$y=(x+1)^2$ 由 $y=x^2$ 向左平移1个单位得到。
对称轴与顶点坐标：
1. $y=x^2$：
对称轴：$x=0$（y轴），顶点坐标：$(0,0)$。
2. $y=(x-1)^2$：
对称轴：$x=1$，顶点坐标：$(1,0)$。
3. $y=(x+1)^2$：
对称轴：$x=-1$，顶点坐标：$(-1,0)$。