《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

思考 画二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象应怎样取点？在什么条件下它的图象与 $ x $ 轴一定有交点？如何求它的图象与坐标轴的交点？

答案： 见解析

练习 抛物线 $ y = -2x^2 + 8 $ 的顶点坐标是$(0,8)$,与 $ y $ 轴的交点坐标是$(0,8)$,与 $ x $ 轴的交点坐标是$(\pm2,0)（或 (-2,0),(2,0) ）$。

答案： 顶点坐标是$(0,8)$；与 $y$ 轴的交点坐标是$(0,8)$；与 $x$ 轴的交点坐标是$(\pm2,0)（或 (-2,0),(2,0) ）$。

例 1 填空：抛物线 $ y = x^2 - 4 $ 的顶点坐标是(0,-4),顶点是图象的最低(“高”或“低”)点,当 $ x = $0时,$ y $ 取最小(“大”或“小”)值是-4,对称轴是y轴。当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。$ y = x^2 - 4 $ 的图象与 $ y $ 轴的交点坐标是(0,-4),与 $ x $ 轴的交点坐标是(2,0),(-2,0)。
名师导引抛物线顶点的横、纵坐标就是 $ y $ 取得最值时对应的 $ x $ 和 $ y $ 值,求它的图象与坐标轴的交点要充分利用方程思想,即分别令 $ x = 0 $ 和 $ y = 0 $,建立方程求解。

答案： (0,-4);低;0;小;-4;y轴;减小;(0,-4);(2,0),(-2,0)

变式训练 (1)对于二次函数 $ y = -2x^2 + 3 $ 的图象,下列说法不正确的是(B)
A. 开口向下
B. 对称轴是直线 $ x = -3 $
C. 顶点坐标为 $ (0,3) $
D. $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
(2)已知 $ (-1,y_1) $,$ (2,y_2) $ 是函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象上的两点,则(D)
A. $ y_1 ＞ 1 ＞ y_2 $
B. $ y_2 ＞ 1 ＞ y_1 $
C. $ y_1 ＞ y_2 ＞ 1 $
D. $ y_2 ＞ y_1 ＞ 1 $
(3)(2024 西华一模)二次函数 $ y = ax^2 + b $ 的图象如图所示,则一次函数 $ y = ax + b $ 的图象一定不经过(C)
A. 第一象限

B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案：
(1)B；
(2)D；
(3)C

例 2 (2024 钦州二模)将抛物线 $ y = 3x^2 $ 向上平移 2 个单位长度,所得抛物线的解析式为(A)
A.$ y = 3x^2 + 2 $
B.$ y = 3x^2 - 2 $
C.$ y = 3(x + 2)^2 $
D.$ y = 3(x - 2)^2 $
名师导引 平移不改变图象的形状和大小,只改变图象的位置,因此平移后抛物线的函数关系式中的 $ a $ 值保持不变,只需求出平移后抛物线的顶点坐标即可。

答案： A

变式训练 对于抛物线 $ y = -\frac{2}{3}x^2 $ 与抛物线 $ y = -\frac{2}{3}x^2 + 1 $ 的图象,下列说法错误的是(D)
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.抛物线 $ y = -\frac{2}{3}x^2 + 1 $ 是由抛物线 $ y = -\frac{2}{3}x^2 $ 向上平移 1 个单位长度得到的
D.最大值相同

答案： D