《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. (2023 九原期末) 抛物线 $ y = -2(x - 2)^2 - 5 $ 的顶点坐标是(D)
A.$ (-2,5) $
B.$ (2,5) $
C.$ (-2,-5) $
D.$ (2,-5) $

答案： D

2. (2024 平房三模) 将二次函数 $ y = x^2 $ 向左平移 $ h $ 个单位长度,再向下平移 $ k $ 个单位长度,得到二次函数 $ y = (x + 2)^2 - 3 $,则 $ h $ 和 $ k $ 的值分别为(D)
A.$ -2,3 $
B.$ -2,-3 $
C.$ 2,-3 $
D.$ 2,3 $

答案： D

3. 抛物线 $ y = (x - 1)^2 - 2 $ 开口向上,顶点坐标是(1,-2),对称轴是直线x=1。当 $ x $＞1时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案： 上；(1,-2)；x=1；＞1

4. $ A(2,y_1) $,$ B(3,y_2) $ 是抛物线 $ y = -(x + 1)^2 + k $ 上的两点,则 $ y_1 $＞$ y_2 $。(“$ ＜ $”“$ = $”或“$ ＞ $”)

答案： ＞

5. 已知二次函数 $ y = \frac{3}{4}(x - 1)^2 - 3 $。
(1) 在下面的直角坐标系中,画出函数的图象,并写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及 $ y $ 随 $ x $ 变化的情况；
(2) 设函数的图象与 $ y $ 轴的交点为 $ P $,与 $ x $ 轴的交点为 $ Q $,求点 $ P,Q $ 的坐标。
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答案：
(1)
开口方向：因为$a = \frac{3}{4}＞0$，所以图象开口向上。
对称轴：对于二次函数$y = a(x - h)^2 + k$，其对称轴为直线$x = h$，此函数$h = 1$，所以对称轴为直线$x = 1$。
顶点坐标：顶点坐标为$(h,k)$，所以顶点坐标为$(1,-3)$。
$y$随$x$变化的情况：当$x ＜ 1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x ＞ 1$时，$y$随$x$的增大而增大。
图象：列表
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $0$ | $-\frac{9}{4}$ | $-3$ | $-\frac{9}{4}$ | $0$ |
在直角坐标系中描点$( - 1,0)$，$(0,-\frac{9}{4})$，$(1,-3)$，$(2,-\frac{9}{4})$，$(3,0)$，并用平滑曲线连接。
(2)
求点$P$的坐标：
当$x = 0$时，$y=\frac{3}{4}(0 - 1)^2 - 3=\frac{3}{4}-3=-\frac{9}{4}$，所以点$P$的坐标为$(0,-\frac{9}{4})$。
求点$Q$的坐标：
当$y = 0$时，$\frac{3}{4}(x - 1)^2 - 3 = 0$，
$\frac{3}{4}(x - 1)^2=3$，
$(x - 1)^2 = 4$，
$x - 1=\pm2$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = - 1$，
所以点$Q$的坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。

6. 如图,抛物线 $ y = -\frac{4}{3}(x + 1)^2 + \frac{16}{3} $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,连接 $ AC $。
(1) 求 $ A,B,C $ 三点的坐标,并直接写出线段 $ AC $ 所在直线的函数表达式；
(2) $ P $ 是线段 $ AC $ 上方抛物线上一动点,过点 $ P $ 作 $ PE \perp x $ 轴于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ F $。当 $ PF = EF $ 时,求点 $ P $ 的坐标。

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答案：
(1)$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,4)$，直线AC：$y=\frac{4}{3}x + 4$；
(2)$P(-1,\frac{16}{3})$