《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
思考 一个方程是一元二次方程必须满足哪些条件？
2. 一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0）。
3. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。

答案： 1. 一；2；条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数是2。2. ax²+bx+c=0（a≠0）。3. 根。

练习 (1)方程$-x^{2}+6x= 3$含有1个未知数,含有未知数的最高次数是2,它是(“是”或“不是”)一元二次方程。
(2)将一元二次方程$x(x - 1)= 3$化为一般形式为$x^{2}-x-3=0$,其中二次项系数为1,一次项系数为-1,常数项为-3。
(3)若关于$x的一元二次方程x^{2}-mx+6= 0的一个根为x= -1$,则$m= $-7。

答案：
(1)1；2；是
(2)$x^{2}-x-3=0$；1；-1；-3
(3)-7

例1 若关于$x的方程(m - 1)x^{m^{2}+1}-3x= 0$是一元二次方程,则$m= $$-1$。
名师导引 一个方程是一元二次方程必须满足四个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2；(4)二次项系数不为0。

答案： 答题卡：
根据题意，方程 $(m - 1)x^{m^{2} + 1} - 3x = 0$ 是一元二次方程，必须满足以下条件：
$m^{2} + 1 = 2$，
$m - 1 \neq 0$，
解第一个方程 $m^{2} + 1 = 2$，得到 $m^{2} = 1$，即 $m = \pm 1$。
然后考虑第二个条件 $m - 1 \neq 0$，排除 $m = 1$ 这个解。
所以，唯一满足条件的 $m$ 值是 $m = -1$。
故答案为：$-1$。

变式训练 (1)下列方程中是一元二次方程的是④(填序号)：①$y= 2x^{2}+4$；②$ax^{2}+2x - 1= 0$；③$x+\frac{2}{x}= 2$；④$x^{2}-1= 0$；⑤$3x+2= 0$。
(2)方程$x^{2}= -2x+8$化为一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是(C)
A. $1$,$-2$,$8$
B. $-1$,$2$,$8$
C. $1$,$2$,$-8$
D. $1$,$2$,$8$

答案：
(1)
④
(2)
将方程$x^{2}=-2x + 8$移项可得$x^{2}+2x - 8 = 0$，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是$1$，$2$，$-8$，答案选C。

例2 (1)若$x= 2是一元二次方程x^{2}-3x+k= 0$的一个根,则$k$的值为(B)
A. $1$
B. $2$
C. $-1$
D. $-2$
(2)已知关于$x的一元二次方程(a - 1)x^{2}-2x+a^{2}-1= 0的一个根为x= 0$,则$a= $$-1$。
名师导引 根据方程根的定义,将方程的根代入原方程即可求出某些字母或相关代数式的值。

答案：
(1)
将$x = 2$代入方程$x^{2}-3x + k = 0$，得：
$2^{2}-3×2 + k = 0$
$4 - 6 + k = 0$
$k = 2$
所以答案选B。
(2)
把$x = 0$代入方程$(a - 1)x^{2}-2x+a^{2}-1 = 0$，得：
$a^{2}-1 = 0$
则$a=\pm1$。
又因为方程$(a - 1)x^{2}-2x+a^{2}-1 = 0$是一元二次方程，所以$a - 1\neq0$，即$a\neq1$。
所以$a=-1$。
综上，答案依次为：
(1)B；
(2)$-1$。

变式训练 若$x= 2是关于x的方程mx^{2}-nx= 6$的解,则$2028 - 2m+n$的值为2025。

答案： 因为$x = 2$是方程$mx^2 - nx = 6$的解，所以将$x = 2$代入方程得：$m×2^2 - n×2 = 6$，即$4m - 2n = 6$。两边同时除以$2$，得$2m - n = 3$。则$2028 - 2m + n = 2028 - (2m - n) = 2028 - 3 = 2025$。
2025