《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. 抛物线 $ y = -x^{2} + 2x - 1 $ 与 $ x $ 轴的交点有(B)
A.$ 0 $ 个
B.$ 1 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.无法确定

答案： B

2. 二次函数 $ y = x^{2} - ax + b $ 的图象如图所示,对称轴为直线 $ x = 1 $,与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,顶点为 $ D $,且点 $ A $ 的坐标为 $ (-1,0) $。则下列结论不正确的是(D)

A.$ a = 2 $
B.图象的顶点坐标 $ D $ 为 $ (1,-4) $
C.当 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $ 时,$ y ＞ 0 $
D.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案： D

3. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象的一部分经过点 $ A(-1,0) $,且对称轴是直线 $ x = 2 $,则一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根是 $-1$和$5$。

答案： $-1$和$5$

4. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象经过点 $ (1,-2) $,且对称轴为直线 $ x = 2 $,则方程 $ ax^{2} + bx + c + 2 = 0 $ 的解为 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$。

答案： $x_1 = 1$，$x_2 = 3$

5. (2023 兴隆期末)已知二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $。
(1)二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴的交点坐标是$(1,0)$，$(3,0)$,与 $ y $ 轴的交点坐标是$(0,3)$,顶点坐标是$(2,-1)$；
(2)在下面的平面直角坐标系中,画出二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象；

(3)当 $ 1 ＜ x ＜ 4 $ 时,结合函数图象,直接写出 $ y $ 的取值范围：$-1\leqslant y\lt3$。

答案：
(1)
与$x$轴的交点坐标：
令$y = 0$，即$x^{2}-4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，
所以与$x$轴的交点坐标是$(1,0)$，$(3,0)$。
与$y$轴的交点坐标：
令$x = 0$，则$y=0^{2}-4×0 + 3=3$，
所以与$y$轴的交点坐标是$(0,3)$。
顶点坐标：
对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$，其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，
在$y = x^{2}-4x + 3$中，$a = 1$，$b=-4$，$c = 3$，
$-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×1}=2$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4×1×3-(-4)^{2}}{4×1}=\frac{12 - 16}{4}=-1$，
所以顶点坐标是$(2,-1)$。
(3)
由二次函数$y=x^{2}-4x + 3$，其对称轴为$x = 2$，
当$x = 2$时，$y=-1$；
当$x = 1$或$x = 4$时，$y=1^{2}-4×1 + 3=0$或$y=4^{2}-4×4+3 = 3$，
当$1\lt x\lt4$时，$y$的取值范围是$-1\leqslant y\lt3$。
答题卡填写内容：
(1) $(1,0)$，$(3,0)$；$(0,3)$；$(2,-1)$
(3) $-1\leqslant y\lt3$

6. (2022 营口期中)二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 与一次函数 $ y = x + k(k \neq 0) $ 的图象如图所示。
(1)求方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根；
(2)$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小时,写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(3)写出不等式 $ ax^{2} + bx + c - x - k ＜ 0 $ 的解集；
(4)若方程 $ ax^{2} + bx + c = m $ 有两个不相等的实数根,求 $ m $ 的取值范围。

答案：
(1) 方程$ax^{2}+bx+c=0$的根为二次函数$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴交点的横坐标，由图像及计算得交点为$(-3,0)$和$(-1,0)$，故根为$x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$。
(2) 二次函数开口向上，对称轴为$x=-2$，当$x＜-2$时，$y$随$x$增大而减小，故取值范围为$x＜-2$。
(3) 不等式$ax^{2}+bx+c -x -k＜0$即$ax^{2}+bx+c＜x+k$，二次函数与一次函数交点为$(-3,0)$和$(-0.5,2.5)$，由图像知二次函数值小于一次函数值时$x$的范围为$-3＜x＜-0.5$。
(4) 方程$ax^{2}+bx+c=m$有两个不相等实根，即直线$y=m$与抛物线有两个交点，抛物线顶点纵坐标为$-2$且开口向上，故$m＞-2$。
(1)$x_{1}=-3$，$x_{2}=-1$；
(2)$x＜-2$；
(3)$-3＜x＜-0.5$；
(4)$m＞-2$。