《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

新知梳理
1. 切线长的定义：过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。
思考 切线和切线长的区别是什么？
2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
思考(1)顺次连接“这一点”和两个切点,得到的三角形的形状是什么？结合垂径定理还可以得出哪些结论？等腰三角形；这一点和圆心的连线垂直平分两切点的连线。(2)如何确定三角形内切圆的圆心和半径？内心（三条角平分线交点）；内心到一边的距离。(3)三角形内切圆与三角形外接圆有什么区别？内切圆：内心，切三边，半径为内心到边的距离；外接圆：外心，过三顶点，半径为外心到顶点的距离。

答案： 2. 两；平分。思考
(1)等腰三角形；这一点和圆心的连线垂直平分两切点的连线。
(2)内心（三条角平分线交点）；内心到一边的距离。
(3)内切圆：内心，切三边，半径为内心到边的距离；外接圆：外心，过三顶点，半径为外心到顶点的距离。

例1 如图,PA,PB分别切⊙O于A,B两点,∠P= 40°,则∠C的度数为70°。
名师导引 如图,圆心和两个切点的连线AO,BO与两切线AP,BP构成的四边形AOBP中,对角互补。
变式训练 如图,PA,PB是⊙O的切线,切点为A,B,若OP= 4,∠AOB= 120°,则PA的长为2√3。

答案： 例1
连接OA、OB。
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∠OAP=∠OBP=90°。
在四边形OAPB中，∠P=40°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°。
∵∠ACB是⊙O的圆周角，∠AOB是圆心角，且∠ACB与∠AOB所对弧为$\overset{\frown}{AB}$，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
答案：70°
变式训练
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OP平分∠AOB。
∵∠AOB=120°，
∴∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°。
在Rt△OAP中，OP=4，∠AOP=60°，
∴sin∠AOP=$\frac{PA}{OP}$，即sin60°=$\frac{PA}{4}$。
∵sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PA=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$。
答案：2$\sqrt{3}$

例2 如图,点O是△ABC的内心,∠A= 62°,则∠BOC= (D)

A.59°
B.31°
C.124°
D.121°
名师导引 三角形的内心及三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点。
变式训练 边长为a的正三角形的内切圆的半径为______。

答案： D；√3/6 a