《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. 抛物线 $ y = x^2 - 2 $ 的顶点坐标是(D)
A.$ (-2,0) $
B.$ (2,0) $
C.$ (0,2) $
D.$ (0,-2) $

答案： D

2. 将抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $ 向下平移 2 个单位,所得抛物线的解析式为(B)
A.$ y = 2(x - 2)^2 - 1 $
B.$ y = 2x^2 - 3 $
C.$ y = 2(x + 2)^2 - 1 $
D.$ y = 2x^2 + 1 $

答案： B

3. 抛物线 $ y = -\frac{1}{3}x^2 - 4 $ 的开口向下,对称轴是$y$轴（或直线$x=0$）,顶点坐标为$(0, -4)$。当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。$ x = $0时,$ y $ 取最大(“大”或“小”)值是$-4$。

答案： 开口向下；
对称轴是$y$轴（或直线$x=0$）;
顶点坐标为$(0, -4)$;
当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小；
$x = 0$时，$y$取最大值是$-4$。

4. 对于二次函数 $ y = -\frac{1}{3}x^2 + 2 $,当 $ x $ 的值为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 时,对应的函数值 $ y $ 为 $ y_1 $ 和 $ y_2 $。若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $,则 $ y_1 $＜$ y_2 $。(“$ ＞ $”或“$ ＜ $”)

答案： $ ＜ $

5. (1)如图为二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 的图象,请在该直角坐标系中画出 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 2 $ 和 $ y = \frac{1}{4}x^2 - 2 $ 的图象。

(2)观察图象,二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 向下平移2个单位长度得到二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 - 2 $。二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 - 2 $ 的开口向上,顶点坐标为$(0,-2)$,顶点是图象的最低(“高”或“低”)点,$ x = $0时,$ y $ 取最小(“大”或“小”)值是$-2$,对称轴是y轴；当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。

答案：
(1) 图略（在给定坐标系中，将$y=\frac{1}{4}x^2$的图象向上平移2个单位得到$y=\frac{1}{4}x^2 + 2$，向下平移2个单位得到$y=\frac{1}{4}x^2 - 2$）
(2) 下；2；上；$(0,-2)$；低；0；小；$-2$；y轴；减小；增大

6. 将抛物线 $ y = ax^2 + k $ 向下平移 6 个单位长度,得到抛物线 $ y = -x^2 + 3 $,设原抛物线的顶点为 $ P $,且原抛物线与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,$ B $。
(1)求原抛物线的表达式；
(2)求 $ \triangle PAB $ 的面积。

答案：
(1)
已知抛物线$y = ax^{2}+k$向下平移$6$个单位长度后得到抛物线$y=-x^{2}+3$。
根据抛物线平移规律“上加下减”（对于抛物线$y = a(x - h)^2+k$，上下平移时对$k$进行加减），则$y = ax^{2}+k - 6= -x^{2}+3$。
所以$a=-1$，$k-6 = 3$，解得$k = 9$。
原抛物线的表达式为$y=-x^{2}+9$。
(2)
对于抛物线$y=-x^{2}+9$，其顶点$P$的坐标为$(0,9)$。
令$y = 0$，则$-x^{2}+9 = 0$，即$x^{2}=9$，解得$x=\pm3$。
所以$A(-3,0)$，$B(3,0)$，那么$AB=3-(-3)=6$。
$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}× AB×|y_P|=\frac{1}{2}×6×9 = 27$。
综上，答案为：
(1)原抛物线的表达式为$y = -x^{2}+9$；
(2)$\triangle PAB$的面积为$27$。