《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

7. 如图,抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 4 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ D $ 是其顶点。
(1) 求 $ A,B,C,D $ 四点的坐标；
(2) 若点 $ P $ 是 $ x $ 轴上一个动点,求 $ CP + DP $ 的最小值。

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答案：
(1)
顶点D：由抛物线顶点式$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 4$，得顶点坐标为$(2, 4)$，即$D(2, 4)$。
与x轴交点A、B：令$y = 0$，则$-\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 4 = 0$，
移项得$\frac{1}{2}(x - 2)^2 = 4$，即$(x - 2)^2 = 8$，
开方得$x - 2 = \pm 2\sqrt{2}$，解得$x = 2 \pm 2\sqrt{2}$。
因点A在点B左侧，故$A(2 - 2\sqrt{2}, 0)$，$B(2 + 2\sqrt{2}, 0)$。
与y轴交点C：令$x = 0$，则$y = -\frac{1}{2}(0 - 2)^2 + 4 = -\frac{1}{2} × 4 + 4 = 2$，即$C(0, 2)$。
(2)
作点C关于x轴的对称点$C'(0, -2)$，连接$C'D$交x轴于点P，此时$CP + DP$最小，最小值为$C'D$的长。
由$C'(0, -2)$、$D(2, 4)$，根据两点间距离公式：
$C'D = \sqrt{(2 - 0)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$。
故$CP + DP$的最小值为$2\sqrt{10}$。
答案
(1) $A(2 - 2\sqrt{2}, 0)$，$B(2 + 2\sqrt{2}, 0)$，$C(0, 2)$，$D(2, 4)$；
(2) $2\sqrt{10}$。

二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的图象是抛物线,它的对称轴是直线$x =-\frac{b}{2a}$,顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$,开口方向和形状由系数$a$决定,对称轴的位置由系数$a$，$b$决定,与$y$轴的交点坐标是$(0,c)$,与$x$轴的交点情况由$b^{2}-4ac$（或$\Delta$）决定,求与$x$轴的交点坐标时,应令$y$$ = 0$,得方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$,该方程的解即为与$x$轴交点的横坐标。

答案： 1. 首先明确二次函数的基本性质：
二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象是抛物线。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，根据顶点坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，$y = \frac{4ac - b^{2}}{4a}$，它的对称轴是直线$x =-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
由二次函数的性质可知，开口方向和形状由系数$a$决定（当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下，$\vert a\vert$相等时，抛物线形状相同）。
对称轴$x =-\frac{b}{2a}$，所以对称轴的位置由系数$a$和$b$决定。
当$x = 0$时，$y=c$，所以与$y$轴的交点坐标是$(0,c)$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta\gt0$时，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$x$轴有两个不同的交点；当$\Delta = 0$时，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$x$轴有一个交点；当$\Delta\lt0$时，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$x$轴没有交点，所以与$x$轴的交点情况由$b^{2}-4ac$（或$\Delta$）决定。
求与$x$轴的交点坐标时，应令$y = 0$，得方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，该方程的解即为与$x$轴交点的横坐标（因为$x$轴上的点纵坐标$y = 0$）。
所以答案依次为：抛物线；直线$x =-\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$；$a$；$a$，$b$；$(0,c)$；$b^{2}-4ac$（或$\Delta$）；$y$；$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$；横。

思考 画二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的图象时,应先将解析式化为怎样的形式？方法是什么？
练习 将二次函数$y = 2x^{2} + 4x - 3化为y = a(x - h)^{2} + k$的形式,结果为$y=2(x + 1)² - 5$,由此可知,它的图象的顶点坐标是$(-1, -5)$,对称轴是直线$x=-1$。

答案： $y=2(x + 1)² - 5$；$(-1, -5)$；直线$x=-1$

探究一 用配方法确定二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$图象的顶点坐标和对称轴

答案： 对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$，
首先进行配方：
$y = ax^{2} + bx + c$
$= a(x^{2} + \frac{b}{a}x) + c$
$= a(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}) + c$
$= a(x + \frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}}{4a} + c$
$= a(x + \frac{b}{2a})^{2} + \frac{4ac - b^{2}}{4a}$
由此，可以直接得出二次函数的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}$。

例 1 用配方法求下列二次函数图象的顶点坐标和对称轴：
(1)$y = 2x^{2} - 4x - 1$；(2)$y = 3x^{2} - 6x$；
(3)$y = -\frac{1}{2}x^{2} + x - \frac{1}{4}$；
(4)$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2} + 2\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}$。
名师导引 利用配方法确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴,关键是将一般式化成顶点式,要注意配方法的基本步骤。

答案：
(1)
$y = 2x^{2} - 4x - 1$
$= 2(x^{2} - 2x) - 1$
$= 2(x^{2} - 2x + 1 - 1) - 1$
$= 2(x - 1)^{2} - 3$
所以，顶点坐标为$(1, -3)$，对称轴为直线$x = 1$。
(2)
$y = 3x^{2} - 6x$
$= 3(x^{2} - 2x)$
$= 3(x^{2} - 2x + 1 - 1)$
$= 3(x - 1)^{2} - 3$
所以，顶点坐标为$(1, -3)$，对称轴为直线$x = 1$。
(3)
$y = -\frac{1}{2}x^{2} + x - \frac{1}{4}$
$= -\frac{1}{2}(x^{2} - 2x) - \frac{1}{4}$
$= -\frac{1}{2}(x^{2} - 2x + 1 - 1) - \frac{1}{4}$
$= -\frac{1}{2}(x - 1)^{2} + \frac{1}{4}$
所以，顶点坐标为$(1, \frac{1}{4})$，对称轴为直线$x = 1$。
(4)
$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x^{2} + 2\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}$
$= -\frac{\sqrt{3}}{3}(x^{2} - 6x) - 4\sqrt{3}$
$= -\frac{\sqrt{3}}{3}(x^{2} - 6x + 9 - 9) - 4\sqrt{3}$
$= -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 3)^{2} - \sqrt{3}$
所以，顶点坐标为$(3, -\sqrt{3})$，对称轴为直线$x = 3$。

变式训练 (1)函数$y = x^{2} + 4x + 2$的顶点坐标是$(-2,-2)$,对称轴是直线$x=-2$。
(2)已知抛物线$y = -x^{2} + 2x + c$经过平面内的四个象限,则下列结论正确的是(D)
A.最大值是$c$
B.对称轴为直线$x = -1$
C.$c的值可能是4$
D.顶点不一定在第一象限

答案：
(1)$(-2,-2)$，$x=-2$；
(2)D