《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. 若$ x = 3 是一元二次方程 x^{2}-4x + n = 0 $的一个根,则$ n $的值为(C)
A.$ -3 $
B.$ 3 或 -3 $
C.$ 3 $
D.$ 0 $

答案： C

2. (2024 西湖月考)解一元二次方程$ x^{2}-4x + 2 = 0 $,配方后正确的是(A)
A.$ (x - 2)^{2}= 2 $
B.$ (x - 1)^{2}= 2 $
C.$ (x - 2)^{2}= 3 $
D.$ (x - 1)^{2}= 4 $

答案： A

3. 关于$ x 的一元二次方程 x^{2}+bx + 2 = 0 有一个根 x_{1}= 1 $,则$ b = $$-3$,另一个根$ x_{2}= $$2$。

答案： $-3$；$2$。

4. 某校进行篮球赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间都赛一场),计划安排$ 45 $场比赛,设共有$ x $支球队参赛,依题意列方程为$\dfrac{1}{2}x(x - 1) = 45$。

答案： $\dfrac{1}{2}x(x - 1) = 45$

5. 解方程：
(1) $ x^{2}-2x = 7 $；
(2) $ (3x - 7)^{2}= 2(3x - 7) $；
(3) $ x^{2}+\sqrt{5}x - 11 = 0 $；
(4) $ (3x - 4)^{2}= (4x - 3)^{2} $。

答案：
(1) $x^2 - 2x = 7$
配方，得$x^2 - 2x + 1 = 7 + 1$，即$(x - 1)^2 = 8$
开平方，得$x - 1 = ±2\sqrt{2}$
解得$x_1 = 1 + 2\sqrt{2}$，$x_2 = 1 - 2\sqrt{2}$
(2) $(3x - 7)^2 = 2(3x - 7)$
移项，得$(3x - 7)^2 - 2(3x - 7) = 0$
因式分解，得$(3x - 7)(3x - 7 - 2) = 0$，即$(3x - 7)(3x - 9) = 0$
则$3x - 7 = 0$或$3x - 9 = 0$
解得$x_1 = \frac{7}{3}$，$x_2 = 3$
(3) $x^2 + \sqrt{5}x - 11 = 0$
$a = 1$，$b = \sqrt{5}$，$c = -11$
$\Delta = b^2 - 4ac = (\sqrt{5})^2 - 4×1×(-11) = 5 + 44 = 49$
$x = \frac{-b ± \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\sqrt{5} ± 7}{2}$
解得$x_1 = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{5}}{2}$
(4) $(3x - 4)^2 = (4x - 3)^2$
移项，得$(3x - 4)^2 - (4x - 3)^2 = 0$
因式分解，得$[(3x - 4) + (4x - 3)][(3x - 4) - (4x - 3)] = 0$，即$(7x - 7)(-x - 1) = 0$
则$7x - 7 = 0$或$-x - 1 = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -1$

6. (数学与生活)如图,某校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为$ 28m $),另外的边利用总长$ 55m $的铁栏围成,且一边有两个长为$ 1m $的木质门。
(1) 求线段$ AB $的取值范围；
(2) 若围成的自行车车棚的面积为$ 270m^{2} $,试求出自行车车棚的长和宽；
(3) 能围成面积为$ 300m^{2} $的自行车车棚吗？如果能,请你给出设计方案；如果不能,请说明理由。

答案：
(1) 设AB的长为$ x $m（即车棚的宽），BC的长为$ y $m（即车棚的长）。由于两个车棚连在一起，需3个宽边（含中间分隔），铁栏总长55m且含两个1m的门，故总长度关系为$ 3x + y - 2 = 55 $，即$ y = 57 - 3x $。墙长限制$ y \leq 28 $，且$ y ＞ 0 $，$ x ＞ 0 $。
由$ y = 57 - 3x \leq 28 $得$ x \geq \frac{29}{3} \approx 9.67 $；由$ y ＞ 0 $得$ x ＜ 19 $。
故$ \frac{29}{3} \leq AB ＜ 19 $，即$ 9\frac{2}{3}m \leq AB ＜ 19m $。
(2) 面积$ S = x \cdot y = 270 $，代入$ y = 57 - 3x $得$ x(57 - 3x) = 270 $。
整理得$ x^2 - 19x + 90 = 0 $，解得$ x_1 = 10 $，$ x_2 = 9 $。
$ x = 9 $时，$ y = 57 - 27 = 30 ＞ 28 $（舍去）；$ x = 10 $时，$ y = 57 - 30 = 27 \leq 28 $。
故长为27m，宽为10m。
(3) 假设面积为300m²，则$ x(57 - 3x) = 300 $。
整理得$ x^2 - 19x + 100 = 0 $，判别式$ \Delta = 361 - 400 = -39 ＜ 0 $，方程无实根。
故不能围成面积为300m²的车棚。
答案
(1) $ 9\frac{2}{3}m \leq AB ＜ 19m $
(2) 长27m，宽10m
(3) 不能，理由见解析。