《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

例3 (2024 平顶山二模)
(1) 下列方程中,有两个相等的实数根的是(A)
A. $ x^{2}-2x = -1 $
B. $ x^{2}+3x = 0 $
C. $ (x - 2)^{2}+1 = 0 $
D. $ (x + 1)(x - 3)= 0 $
(2) 若关于$ x $的一元二次方程 $ kx^{2}-6x + 9 = 0 $有实数根,则$ k $的取值范围是(D)
A. $ k ＜ 1 $
B. $ k \leq 1 $
C. $ k ＜ 1 且 k \neq 0 $
D. $ k \leq 1 且 k \neq 0 $
名师导引 熟练掌握一元二次方程的定义。一元二次方程根的情况由$ b^{2}-4ac $的符号决定：当$ b^{2}-4ac ＞ 0 $时,有两个不相等的实数根；当$ b^{2}-4ac = 0 $时,有两个相等的实数根；当$ b^{2}-4ac ＜ 0 $时,无实数根。

答案：
(1) A
(2) D

巩固提升
(1) (2024 焦作二模)已知$ a $,$ b $为常数,且点$ A(a,b) $在第二象限,则关于$ x $的一元二次方程 ax²-x + b = 0 的根的情况为(B)
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断
(2) (2024 威信二模)若关于$ x $的一元二次方程 (a - 2)x²+2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根,则$ a $的取值范围是(C)
A. $ a \neq 2 $
B. $ a \geq 1 且 a \neq 2 $
C. $ a ＞ 1 且 a \neq 2 $
D. $ a ＞ 1 $

答案：
(1)B
(2)C

例4 某水果店现对某种水果进行促销,原价每千克$ 50 $元,连续两次降价后每千克$ 32 $元,若每次降价的百分率相同。
(1) 求每次降价的百分率；
(2) 若每千克盈利$ 10 $元,每天可售出$ 250 $千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场采取适当的涨价措施,若每千克涨价$ 0.5 $元,日销售量将减少$ 5 $千克,现该商场要保证每天盈利$ 3000 $元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元？
名师导引 (1) 增长(降低)率问题：若变化前数量为$ a $,平均增长(降低)率为$ x $,则两次增长(降低)后的值为$ a(1 \pm x)^{2} $；(2) 销售问题：总盈利= 每千克的盈利×数量。

答案：
(1)20%；
(2)5元

巩固提升 (2025 蓬莱区期中)“当你背英语单词时,阿拉斯加的鳕鱼正跃水欢歌；当你算数学题时,南太平洋的海鸥正轻掠碧波；当你上晚自习时,地球的极圈之光正斑斓如画。但少年,梦想需你亲自编织,世界待你亲自探寻。未来可期,拼尽全力！当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你的生命里出现……”这是某直播平台销售某本书时的台词,该书的成本为每本$ 20 $元,当每本售价为$ 40 $元时,每天可销售$ 100 $本。为了吸引更多的顾客,该平台决定降价促销,根据市场调查发现：每本书的售价每降$ 1 $元,则每天可多销售$ 10 $本。设该书售价为每本$ x $元,每天的销售量为$ y $本。
(1) 求$ y 与 x $之间的函数关系式；
(2) 不忘公益初心,热心教育事业,该平台决定从每天的利润中捐出$ 200 $元帮助贫困山区的学生,为了保证捐款后每天利润达到$ 1800 $元,且要最大限度让利消费者,求此时每本书的售价为多少元。

答案：
(1)$y = -10x + 500$；
(2)30元。