《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

7.(2024 开州区阶段练习改编)如图是开州区竹溪镇一菜农蔬菜大棚的截面,形状为圆弧形,圆心为$O$,跨度$AB$(弧所对的弦)的长为 8 米,拱高$CD$(弧的中点到弦的距离)为 2 米。圆弧所在圆的半径为多少米？在修建过程中,在距蔬菜大棚的一端(点$B$)1 米处将竖立支撑杆$EF$,支撑杆$EF$的高度为多少米？

答案： 1. 设圆弧所在圆的半径为$ r $米，连接$ OA $，$ OC $。
因为$ CD $是拱高，$ D $为弧$ AB $的中点，所以$ OD \perp AB $，垂足为$ C $。
则$ AC = BC = \frac{AB}{2} = 4 $米，$ OC = OD - CD = r - 2 $。
在$ Rt\triangle OAC $中，由勾股定理得：$ OA^2 = OC^2 + AC^2 $，即$ r^2 = (r - 2)^2 + 4^2 $。
解得$ r = 5 $。
2. 连接$ OF $，由题意得$ BE = 1 $米，所以$ CE = BC - BE = 4 - 1 = 3 $米。
因为$ OC = OD - CD = 5 - 2 = 3 $米，设$ EF = h $米。
在$ Rt\triangle OEF $中，$ OE = CE = 3 $米，$ OF = 5 $米，由勾股定理得：$ OE^2 + (OC + EF)^2 = OF^2 $，即$ 3^2 + (3 + h)^2 = 5^2 $。
解得$ h = 1 $。
圆弧所在圆的半径为$ 5 $米，支撑杆$ EF $的高度为$ 1 $米。

新知梳理
1. 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心. 把圆绕圆心旋转任意一个角度所得的图形与原图形重合.
2. 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们对应的其余各组量也相等.
思考 弧、弦、圆心角的关系定理成立的前提条件是什么？证明这个定理的依据是什么？
前提条件是在同圆或等圆中；证明依据是圆的旋转不变性。

答案： 1. 圆心；思考：前提条件是在同圆或等圆中；证明依据是圆的旋转不变性。

练习 如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,若 AB = CD,则$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{CD}$,∠AOB = $\angle COD$.

答案： $\overset{\frown}{CD}$；$\angle COD$

探究 灵活运用弧、弦、圆心角的关系定理
例 如图,在⊙O 中,弦 AB = CD,求证：AD = BC.

名师导引 同圆或等圆中的弦相等,常转化为它们对应的弧或圆心角相等.

答案： 因为弦$AB = CD$，
根据同圆中，等弦所对的优弧（或劣弧）相等，
所以$弧AB=弧CD$，
因为$弧AB - 弧BD = 弧AD$，$弧CD - 弧BD = 弧BC$，
所以$弧AD = 弧BC$，
根据同圆中，等弧所对的弦相等，
所以$AD = BC$。

变式训练 (2023 阳江期末)如图,已知 A,B,C,D 是圆上的点,$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{BC}$,AC,BD 交于点 E,则有(C)

A.AB = AD
B.BE = CD
C.AC = BD
D.BE = AD

答案： C