《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。
思考 (1) 满足哪些条件的多边形才能是正多边形？这些条件能互推吗？怎样作一个圆的内接正 $ n $ 边形？(2) 如图,指出圆内接正六边形的中心、半径、中心角、边心距；正六边形的一个内角、中心角、外角的度数分别是多少？正 $ n $ 边形的一个内角、中心角、外角的度数分别是多少(用含 $ n $ 的式子表示)？

(1)各边相等且各角相等，不能互推，将圆n等分并顺次连接各分点；(2)中心：点O，半径：OA，中心角：∠AOB，边心距：OG；正六边形内角120°、中心角60°、外角60°；正n边形内角$\frac{(n-2)×180°}{n}$、中心角$\frac{360°}{n}$、外角$\frac{360°}{n}$

答案： 各边相等、各角也相等；
(1)各边相等且各角相等，不能互推，将圆n等分并顺次连接各分点；
(2)中心：点O，半径：OA，中心角：∠AOB，边心距：OG；正六边形内角120°、中心角60°、外角60°；正n边形内角$\frac{(n-2)×180°}{n}$、中心角$\frac{360°}{n}$、外角$\frac{360°}{n}$

探究 正多边形和圆的有关计算
例 如图,已知 $ \odot O $ 的周长等于 $ 8\pi $,求圆内接正六边形 $ ABCDEF $ 的边心距 $ OM $ 的长。

名师导引 通过作正 $ n $ 边形的半径和边心距,构造出直角三角形,再利用直角三角形的性质和勾股定理,即可解答一些特殊的正多边形的计算问题；如果已知正 $ n $ 边形的边数 $ n $,可由该正 $ n $ 边形的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项,求出其他项。

答案： 解：
∵⊙O的周长为8π，
∴2πR=8π，解得R=4。
连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=360°/6=60°，OC=OD=R=4。
∴△OCD是等边三角形，CD=OC=4。
∵OM是边心距，
∴OM⊥CD，CM=MD=CD/2=2。
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OM=√(OC²-CM²)=√(4²-2²)=√12=2√3。
答：边心距OM的长为2√3。

变式训练 等边三角形的外接圆半径为 $ 2\sqrt{3} $,则它的边长为6。

答案： （此处假设是填空题，直接给出答案）
6。

1. (2024 四川中考) 如图,正六边形 $ ABCDEF $ 内接于 $ \odot O $,$ OA = 1 $,则 $ AB = $(C)

A.$ 2 $
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 1 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： C

2. (2024 昆明三模) 如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形,如果这个正六边形 $ ABCDEF $ 的周长是 $ 18\sqrt{3} $,则这个正六边形的外接圆的半径是(C)

A.$ \sqrt{3} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ 3\sqrt{3} $
D.$ 6 $

答案： C

3. (2023 安徽中考) 如图,正五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $,连接 $ OC $,$ OD $,则 $ \angle BAE - \angle COD = $(D)

A.$ 60° $
B.$ 54° $
C.$ 48° $
D.$ 36° $

答案： D

4. (2022 营口中考) 如图,在正六边形 $ ABCDEF $ 中,连接 $ AC $,$ CF $,则 $ \angle ACF = $____°。

30

答案： 30