《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

巩固提升 (2024温州期中)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在格点上。
(1)先将△ABC向左平移2个单位,再作与所得三角形关于原点成中心对称的图形$△A_1B_1C_1,$请在图中画出$△A_1B_1C_1。$
(2)△ABC边上有一点P(a,b),经上述变换后所得的对应点为$P_1,$则点$P_1$的坐标为(-a + 2,-b)(用含a,b的代数式表示)。

答案：
(1)
△ABC左平移2个单位：$A(1,1),B(4,2),C(2,3)$对应$A_t(-1,1),B_t(2,2),C_t(0,3)$。
再关于原点对称：$A_t(-1,1),B_t(2,2),C_t(0,3)$对应$A_1(1, -1),B_1(-2,-2),C_1(0,-3)$，在坐标系标出$A_1,B_1,C_1$并连接成$△A_1B_1C_1$。
(2) $(-a + 2,-b)$

例5 (2024温州二模)如图,△AOB绕点O旋转180°得到△COD,点A的对应点为点C。分别延长OB,OD至点E,F,且BE= DF,连接AF,FC,CE,EA。
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形。
(2)若OE= CE,∠EAC= 45°,EF= 2√{10},求四边形AFCE的周长。

名师导引 旋转前、后的图形全等(或利用已知条件构造图形全等),借此可以在较复杂的图形中通过旋转图形(或全等关系),把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,找到解题突破口。

答案：
(1)见解析；
(2)6√2+2√10。

巩固提升 (2024渭南二模)如图,将△ABC绕点C逆时针旋转45°得到$△A_1B_1C_1,∠ACB= 90°,$点$P_1$是$A_1C$与AB的交点,点Q是$A_1B_1$与BC的交点,求证：$CP_1= CQ。$

答案： 证明：
∵△ABC绕点C逆时针旋转45°得到△A₁B₁C₁，
∴CB=CB₁，∠B=∠B₁，∠A₁CB₁=∠ACB=90°，旋转角∠ACA₁=45°。
∵∠ACB=90°，∠ACA₁=45°，
∴∠BCA₁=∠ACB - ∠ACA₁=90° - 45°=45°，即∠BCP₁=45°。
∵∠A₁CB₁=90°，∠BCA₁=45°，
∴∠B₁CQ=∠A₁CB₁ - ∠A₁CB=90° - 45°=45°。
在△CP₁B和△CQ B₁中，
∠B=∠B₁，
CB=CB₁，
∠BCP₁=∠B₁CQ=45°，
∴△CP₁B≌△CQ B₁（ASA）。
∴CP₁=CQ（全等三角形对应边相等）。