《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

7. 如图,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的负半轴相交于 $ A,B $ 两点,$ Q(m,\sqrt{3}) $ 是该二次函数的图象上的一点,且 $ \triangle ABQ $ 为等边三角形,则 $ a $ 的值为(D)

A.$ -\frac{\sqrt{3}}{3} $
B.$ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
C.$ -1 $
D.$ -\sqrt{3} $

答案： D

8. 如图,二次函数 $ y = mx^{2} - 4mx + 3m(m ＞ 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,连接 $ AC,BC $,若 $ CA $ 平分 $ \angle OCB $,则 $ m $ 的值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

练习 已知二次函数 $ y = x^{2} + 2x $,当 $ 1 \leq x \leq 4 $ 时,$ y $ 的最小值是3,最大值是24。

答案： 最小值为3，最大值为24。（按照题目要求，应分别填写在空白处，由于题目要求答案填ABCD等格式但本题为填空，因此直接给出数值答案）
即：$3$；$24$。

例 1 某社区决定把一块长 60 米,宽 30 米的矩形空地建成健身广场,设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形),空白区域为活动区,且广场四周的 4 个出口宽度相同,其宽度不小于 12 米,不大于 24 米,设绿化区较长边为 $ x $ 米,活动区的面积为 $ y $ 平方米。
(1) 用含 $ x $ 的式子表示：每个出口的宽度为60 - 2x米,每块绿化区较短边长为x - 15米；$ y $ 与 $ x $ 的函数关系式是y=-4x² + 60x + 1800。
(2) 当出口的宽为多少时,活动区所占面积最大？最大面积是多少？

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(2) 由12≤60 - 2x≤24，得18≤x≤24。y=-4x² + 60x + 1800对称轴为x=7.5，在18≤x≤24上y随x增大而减小。当x=18时，出口宽a=60 - 2×18=24米，y最大=-4×18² + 60×18 + 1800=1584平方米。
答：当出口宽为24米时，活动区面积最大，最大面积1584平方米。

答案：
(1) 60 - 2x；x - 15；y=-4x² + 60x + 1800
(2) 由12≤60 - 2x≤24，得18≤x≤24。y=-4x² + 60x + 1800对称轴为x=7.5，在18≤x≤24上y随x增大而减小。当x=18时，出口宽a=60 - 2×18=24米，y最大=-4×18² + 60×18 + 1800=1584平方米。
答：当出口宽为24米时，活动区面积最大，最大面积1584平方米。