《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

用配方法解一元二次方程的步骤：一移,移项；二化,将二次项系数化为1；三配,在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,将原方程化为$(x + m)^2 = n$的形式；四开平方,注意$n的取值(n \geq 0)$；五求解,运用直接开平方法求解。

答案： 1；一次项系数一半的平方

思考 用配方法将方程化为$(x + m)^2 = n$的形式,从而直接开平方求解方程,体现了怎样的数学思想？达到了怎样的目的？

答案： 体现了转化思想，达到了降次目的。

练习(1)$x^2 - 8x +$16$= (x - 4)^2$；(2)方程$x^2 - 6x = 7$的解为$x_1 = 7,x_2 = -1$。

答案：
(1) $16$
(2) $x_1 = 7,x_2 = -1$

例1 用适当的数或式填空：
(1)$x^2 -$$6x$$+ 9 = (x - 3)^2$；
(2)$2x^2 - 4x +$$2$$= 2(x -$$1$$)^2$；
(3)若$x^2 + px + 16$是一个完全平方式,则$p$的值为$\pm 8$。
名师导引 (1)配方时要注意,当二次项系数为1时,常数项应等于一次项系数一半的平方；当二次项系数不为1时,要先将二次项系数化为1。(2)一个二次三项式为一个完全平方式,它的一次项系数的符号有两种情况。

答案：
(1) $6x$
(2) $2$, $1$
(3) $\pm 8$

变式训练 (1)二次三项式$x^2 - 2x - 3化为a(x + h)^2 + k$的形式是$(x - 1)^2 - 4$。
(2)用配方法解方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$,配方正确的是(B)
A. $(3x + 1)^2 = 1$
B. $\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{17}{16}$
C. $(x + \dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{1}{2}$
D. $(x + 3)^2 = \dfrac{1}{3}$

答案：
(1)
$x^2 - 2x - 3$
$=x^2 - 2x + 1 - 1 - 3$
$=(x - 1)^2 - 4$
(2)
方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$，
二次项系数化为$1$得：$x^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0$，
移项得：$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}$，
配方得：$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$，
$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$。
故答案为：
(1)$(x - 1)^2 - 4$；
(2)B。

例2 解方程：
(1)$x^2 - 4x - 5 = 0$；(2)$2x^2 - 1 = -5x$。
名师导引 用配方法解一元二次方程时,注意先将等式的一边转化为完全平方式,再求解。

答案：
(1)
$x^{2}-4x - 5=0$
移项得$x^{2}-4x = 5$
配方，$x^{2}-4x+4=5 + 4$
即$(x - 2)^{2}=9$
开平方得$x - 2=\pm3$
当$x - 2 = 3$时，$x=5$
当$x - 2=-3$时，$x=-1$
所以方程的解为$x_{1}=5$，$x_{2}=-1$
(2)
将方程$2x^{2}-1=-5x$化为一般形式为$2x^{2}+5x - 1=0$
二次项系数化为$1$，$x^{2}+\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}=0$
移项得$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{1}{2}$
配方，$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{2}+\frac{25}{16}$
即$(x+\frac{5}{4})^{2}=\frac{33}{16}$
开平方得$x+\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}$
当$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4}$时，$x=\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$
当$x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$时，$x=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}$
所以方程的解为$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}$，$x_{2}=\frac{-5 - \sqrt{33}}{4}$

变式训练 解方程：
(1)$x^2 - 6x + 1 = 0$；(2)$x^2 + 4\sqrt{2}x - 1 = 0$。

答案：
(1)
首先，将常数项移到等号右边：$x^{2}-6x=-1$。
接着，进行配方：在等式两边加上$9$，得到$x^{2}-6x + 9=-1 + 9$。
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可将上式化为$(x - 3)^{2}=8$。
然后，开平方：$x - 3=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
最后，求解$x$：$x_1=3 + 2\sqrt{2}$，$x_2=3 - 2\sqrt{2}$。
(2)
首先，将常数项移到等号右边：$x^{2}+4\sqrt{2}x=1$。
接着，进行配方：在等式两边加上$(4\sqrt{2}÷2)^2=(2\sqrt{2})^2 = 8$，得到$x^{2}+4\sqrt{2}x+8=1 + 8$。
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2$，可将上式化为$(x + 2\sqrt{2})^{2}=9$。
然后，开平方：$x+2\sqrt{2}=\pm3$。
最后，求解$x$：$x_1=-2\sqrt{2}+3$，$x_2=-2\sqrt{2}-3$。
综上，答案为：
(1)$x_1=3 + 2\sqrt{2}$，$x_2=3 - 2\sqrt{2}$；
(2)$x_1=-2\sqrt{2}+3$，$x_2=-2\sqrt{2}-3$。

例3 我们知道$x^2 \geq 0$,$(a \pm b)^2 \geq 0$,这一性质在数学中有着广泛的应用,比如,探究多项式$2x^2 + 4x - 5$的最小值时,我们可以这样处理：
原式$= 2(x^2 + 2x) - 5$
$= 2[(x + 1)^2 - 1^2] - 5$
$= 2(x + 1)^2 - 7$
因为$(x + 1)^2 \geq 0$,所以$2(x + 1)^2 - 7 \geq 0 - 7$,即$2(x + 1)^2 - 7 \geq -7$,所以$2x^2 + 4x - 5的最小值是-7$。
请根据上面的探究思路,解答下列问题：
(1)多项式$5(x - 3)^2 + 1$的最小值是1；
(2)求多项式$4x^2 - 16x + 3$的最小值。
$-13$

答案：
(1)$1$；
(2)$-13$。