《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. (2023 澄海期末) 竖直向上发射的小球的高度 $ h $(米)关于运动时间 $ t $(秒)的函数表达式为 $ h = at^{2} + bt $,其图象如图所示。若小球在发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等,则下列时刻中,小球的高度最高的是(D)

A.第 2.5 秒

B.第 3 秒
C.第 3.5 秒
D.第 4 秒
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答案： D

2. (2024 开封二模) 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ BC = 4 $ cm,$ AB = 5 $ cm,点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ AC $ 以 1 cm/s 的速度向点 $ C $ 运动,同时点 $ Q $ 从点 $ C $ 出发,沿 $ CB $ 以 2 cm/s 的速度向点 $ B $ 运动(当点 $ Q $ 运动到点 $ B $ 时,点 $ P $,$ Q $ 同时停止运动)。在运动过程中,四边形 $ PABQ $ 的最小面积为(C)

A.$ \frac{15}{2} $ $ cm^{2} $
B.$ \frac{9}{2} $ $ cm^{2} $
C.$ \frac{15}{4} $ $ cm^{2} $
D.$ \frac{9}{4} $ $ cm^{2} $
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答案： C

3. (2023 商河期末) 如图,某村要建一个长方形的养鸡场,且一边靠墙(足够长),如果用 60 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,设养鸡场的长为 $ x $ m,当 $ x = $30m 时,养鸡场的面积最大。
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答案： 30

4. (2024 喀什地区二模) 如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面 2 m 时,水面的宽度为 4 m。若水面再上升 1.5 m,则水面的宽度为2m。

答案： 2

5. 如图,某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地 $ ABCD $,该基地一边靠墙(墙长为 $ a $ 米),另三边用总长 40 米的栅栏围成。

(1) 当 $ a = 25 $ 时,劳动教育基地的最大面积为______平方米；
(2) 当劳动教育基地的最大面积为 150 平方米时,求 $ a $ 的值。
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(1) 200
(2) 10

答案：
(1) 设与墙垂直的边长为 $ x $ 米，则与墙平行的边长为 $ (40 - 2x) $ 米，面积 $ S = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x $。该二次函数对称轴为 $ x = 10 $，此时与墙平行的边长为 $ 40 - 2×10 = 20 $ 米，因 $ 20 \leq 25 $（墙长 $ a = 25 $），故最大面积为 $ S = -2×10^2 + 40×10 = 200 $ 平方米。
(2) 二次函数 $ S = -2x^2 + 40x $ 顶点值为 200 平方米，因最大面积 150 ＜ 200，故此时与墙平行的边长等于墙长 $ a $。则 $ S = a·\frac{40 - a}{2} = 150 $，即 $ a(40 - a) = 300 $，整理得 $ a^2 - 40a + 300 = 0 $，解得 $ a = 10 $ 或 $ a = 30 $。当 $ a = 30 $ 时，最大面积为 200 平方米（不合题意，舍去），故 $ a = 10 $。
(1) 200
(2) 10