《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. 增长率问题：
设变化前数量为 $ a $，平均增长率为 $ x $，则一次增长后的值为$a(1 + x)$，两次增长后的值为$a(1 + x)^2$，以此类推，$ n $ 次增长后的值为$a(1 + x)^n$。
2. 降低率问题：
设变化前数量为 $ a $，平均降低率为 $ x $，则一次降低后的值为$a(1 - x)$，两次降低后的值为$a(1 - x)^2$，以此类推，$ n $ 次降低后的值为$a(1 - x)^n$。
思考
上述问题中，$ n $ 次增长后的值 $ a(1 + x)^n $ 是怎样得到的？
每次增长在前一次基础上乘以$(1 + x)$，$n$次后为$a(1 + x)^n$。

答案： 1. $a(1 + x)$，$a(1 + x)^2$，$a(1 + x)^n$；2. $a(1 - x)$，$a(1 - x)^2$，$a(1 - x)^n$；思考：每次增长在前一次基础上乘以$(1 + x)$，$n$次后为$a(1 + x)^n$。

练习
某小区的一家快递店,第一天揽件 100 件,第三天揽件 144 件. 设该快递店揽件件数的日平均增长率为 $ x $,则可列方程为$100(1+x)^2=144$。

答案： $100(1+x)^2=144$

探究一 增长(降低)率问题
例 1
(2024 大连二模)某制药厂的一种药剂价格逐年降低,2022 年这种药剂价格为 200 元,2024 年为 98 元.
(1)求 2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率；
(2)该制药厂计划 2025 年对此药剂继续降价,并要求此种药剂的价格不低于 73.5 元,则此次价格的下降率最多是多少？
名师导引
有关增长(降低)率问题,若变化前数量为 $ a $,平均增长(降低)率为 $ x $,则一次增长(降低)后的值为 $ a(1 \pm x) $,两次增长(降低)后的值为 $ a(1 \pm x)^2 $,$ n $ 次增长(降低)后的值为 $ a(1 \pm x)^n $。

答案：
(1)设年平均下降率为$x$，则2023年价格为$200(1 - x)$元，2024年价格为$200(1 - x)^{2}$元。
根据题意，得$200(1 - x)^{2} = 98$。
解方程得：
$(1 - x)^{2} = \frac{98}{200} = 0.49$，
$1 - x = \pm 0.7$，
由于下降率$x$应在$[0,1]$范围内，故只取正值，得$x_{1} = 1 - 0.7 = 0.3 = 30\%$，$x_{2} =1+0.7=1.7$（舍去）。
答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为$30\%$。
(2)设2025年药剂价格的下降率为$y$，则2025年价格为$98(1 - y)$元。
根据题意，要求价格不低于73.5元，即：
$98(1 - y) \geq 73.5$，
解不等式得：
$1 - y \geq \frac{73.5}{98} = 0.75$，
$y \leq 1 - 0.75 = 0.25 = 25\%$。
答：此次价格的下降率最多是$25\%$。