《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

练习 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 交 $ x $ 轴于点 $ (1,0),(3,0) $,则下列判断错误的是(D)

A.抛物线的对称轴是直线 $ x = 2 $
B.当 $ x ＞ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根分别是 $ 1 $ 和 $ 3 $
D.当 $ y ＜ 0 $ 时,$ x ＜ 1 $

答案： D

探究一 二次函数与一元二次方程的关系
例 1 (2024 凉州三模)二次函数 $ y = x^{2} + 2x + m $ 的部分图象如图,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + 2x + m = 0 $ 的解为(B)

A.$ x_{1} = 3,x_{2} = 1 $

B.$ x_{1} = -3,x_{2} = 1 $
C.$ x_{1} = -3,x_{2} = 3 $
D.$ x_{1} = -3,x_{2} = -1 $
名师导引 抓住二次函数图象与 $ x $ 轴交点的横坐标即为函数值为 $ 0 $ 时对应的一元二次方程的解,再利用方程的解的含义就能解决此问题。

答案： B

变式训练 (1)一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根为 $ -3 $ 和 $ -1 $,则二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的对称轴是$x = -2$。
(2)(2024 犍为县模拟)若抛物线 $ y = kx^{2} - 2x - 1 $ 与 $ x $ 轴有两个不同的交点,则 $ k $ 的取值范围为(C)
A. $ k ＞ -1 $
B. $ k \geq -1 $
C. $ k ＞ -1 $ 且 $ k \neq 0 $
D. $ k \geq -1 $ 且 $ k \neq 0 $

答案：
(1) $x = -2$
(2) C

探究二 二次函数图象上的点的坐标与一元二次方程及不等式的关系
例 2 如图是抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象的一部分,抛物线的顶点坐标为 $ A(1,3) $,与 $ x $ 轴的一个交点为 $ B(4,0) $,下列结论：① $ 2a + b = 0 $；② $ abc ＞ 0 $；③方程 $ ax^{2} + bx + c = 3 $ 有两个相等的实数根；④当 $ y ＜ 0 $ 时,$ -2 ＜ x ＜ 4 $。其中正确的结论是(B)

A.②③
B.①③
C.①③④
D.①②③④
名师导引 观察图象,可以看出二次函数与 $ x $ 轴有两个交点,知道其中一个交点的横坐标,利用对称性可求出另一个交点的横坐标。

答案： B

变式训练 二次函数 $ y = x^{2} + bx + c(b,c $ 是常数)中自变量 $ x $ 与 $ y $ 的部分对应值如下表。下列结论正确的是(D)
| $ x $ | …$ $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 10 $ | $ 5 $ | $ 2 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 5 $ | …$ $ |

A.函数图象开口向下
B.当 $ x = 5 $ 时,$ y = 0 $
C.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.方程 $ x^{2} + bx + c = 0 $ 有两个不相等的实数根

答案： D