《2025年学习指要九年级数学上册人教版》

1. 一般地,式子 $ b^{2} - 4ac $ 叫做方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的根的判别式,通常用希腊字母 $ \Delta $ 表示它,即 $ \Delta = b^{2} - 4ac $。当 $ \Delta ＞ 0 $ 时,方程有两个不相等的实数根；当 $ \Delta = 0 $ 时,方程有两个相等的实数根；当 $ \Delta ＜ 0 $ 时,方程没有实数根。
2. $ x = $$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$叫做一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
_思考_ 公式法与配方法之间有着怎样的关系？一元二次方程解的情况由什么来决定？

答案： 1. 判别式；不相等；相等；没有
2. $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；公式法
思考：公式法是配方法的一般化和公式化；一元二次方程解的情况由根的判别式决定。

_练习_ (1)一元二次方程 $ a^{2} - 4a - 7 = 0 $ 的解为$a = 2 \pm \sqrt{11}$；
(2)一元二次方程 $ x^{2} + x - 2 = 0 $ 的根的情况是有两个不相等的实数根。(填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”)

答案：
(1) $a = 2 \pm \sqrt{11}$；
(2) 有两个不相等的实数根。

例1 用公式法解下列方程：
(1) $ x^{2} - 3x - 4 = 0 $；(2) $ 2x^{2} - 3x - 1 = 0 $。
名师导引 求根公式其实表达了用配方法解一般的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的结果。准确熟练地运用求根公式对解一元二次方程十分重要。计算时要注意 $ \Delta $ 的取值范围,若 $ \Delta ＜ 0 $,则方程无实数解。

答案：
(1) $x^{2}-3x-4=0$
$a=1$，$b=-3$，$c=-4$
$\Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-4)=9 + 16=25＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{3\pm5}{2}$
$x_{1}=\frac{3 + 5}{2}=4$，$x_{2}=\frac{3 - 5}{2}=-1$
(2) $2x^{2}-3x - 1=0$
$a=2$，$b=-3$，$c=-1$
$\Delta =b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×2×(-1)=9 + 8=17＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$
$x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$

变式训练 (1)在用求根公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} $ 解一元二次方程时,小颖同学正确地代入了 $ a $,$ b $,$ c $,得到 $ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4 × 2 × (-1)}}{2 × 2} $,则她求解的一元二次方程是(B)
A.$ 2x^{2} + 3x - 1 = 0 $
B.$ 2x^{2} - 3x - 1 = 0 $
C.$ -2x^{2} - 3x + 1 = 0 $
D.$ 3x^{2} - 2x - 1 = 0 $

答案： B

(2)用公式法解下列方程：
① $ 2x^{2} - 5x + 3 = 0 $；② $ 3x = 2x^{2} - 1 $。

答案： ① 对于方程 $2x^{2} - 5x + 3 = 0$：
$a = 2, b = -5, c = 3$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4 × 2 × 3 = 25 - 24 = 1$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}$，
$x_{1} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_{2} = \frac{5 - 1}{4} = 1$；
② 对于方程 $3x = 2x^{2} - 1$，整理得：
$2x^{2} - 3x - 1 = 0$，
$a = 2, b = -3, c = -1$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 × 2 × (-1) = 9 + 8 = 17$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$，
$x_{1} = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \quad x_{2} = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$。

例2 (1)不解方程,判断一元二次方程 $ x^{2} - 2x = 3 $ 的根的情况是(A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
(2)(2024 夏邑模拟)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2} - 2x + 3 = 0 $ 有两个实数根,则 $ k $ 的取值范围是(D)
A. $ k ＜ \frac{1}{3} $
B. $ k \leq \frac{1}{3} $
C. $ k ＜ \frac{1}{3} $ 且 $ k \neq 0 $
D. $ k \leq \frac{1}{3} $ 且 $ k \neq 0 $
名师导引 根的判别式的两大作用：(1)不解方程,可通过 $ b^{2} - 4ac $ 的符号判断根的情况；(2)由方程根的情况判断 $ b^{2} - 4ac $ 的符号,从而判断某些系数的关系,同时还要注意“二次项系数不为 $ 0 $”。

答案：
(1)A
(2)D